Question

如圖，三棱柱ABCA₁B₁C₁中，側(cè)棱A₁A⊥底面ABC，且各棱長均相等，D為棱AB的中點(diǎn)．
（1）證明：平面A₁CD⊥平面A₁ABB₁；
（2）求直線BC與平面A₁CD所成角的正弦值．

Answer 1

考點(diǎn)：直線與平面所成的角,平面與平面垂直的判定

專題：空間位置關(guān)系與距離,空間角

分析：（1）通過證明CD⊥AB，AA₁⊥CD，推出CD⊥平面A₁ABB₁，然后利用平面與平面垂直的判定定理證明平面A₁CD⊥平面A₁ABB₁；
（2）過點(diǎn) B 作 B G⊥A₁D交直線A₁D于點(diǎn)G，連接CG．說明∠BCG為直線BC與平面A₁CD所成的角，通過解三角形求解直線BC與平面A₁CD所成角的正弦值．

解答： 解：（1）證明：由于底面ABC是正三角形，D為AB的中點(diǎn)，故CD⊥AB，
又側(cè)棱A₁A⊥底面ABC，CD?平面ABC，所以AA₁⊥CD，又AA₁∩AB=A，
因此CD⊥平面A₁ABB₁，而CD?平面A₁CD，
所以平面A₁CD⊥平面A₁ABB₁．
（2）在平面A₁ABB₁內(nèi)，過點(diǎn) B 作 B G⊥A₁D交直線A₁D于點(diǎn)G，連接CG．
由于平面A₁CD⊥平面A₁ABB₁，而直線A₁D是平面A₁CD與平面A₁ABB₁的交線，
故BG⊥平面A₁CD．由此得∠BCG為直線BC與平面A₁CD所成的角．
設(shè)棱長為a，可得A₁D=

5 a

2

，則△A₁AD∽△BGD，易得BG=

5 a

5

，
在Rt△BGC中，sin∠BCG=

BG

BC

=

5

5

．
所以直線BC與平面A₁CD所成角的正弦值為

5

5

．

點(diǎn)評：本題考查平面與平面垂直的判定定理的應(yīng)用，直線與平面所成角的求法，考查空間想象能力以及邏輯推理能力，計(jì)算能力．