Question

若函數f（x）滿足：在定義域D內存在實數x₀，使得f（x₀+1）=f（x₀）+f（1）成立，則稱函數f（x）為“1的飽和函數”．給出下列四個函數：①f（x）=

1

x

；②f（x）=2^x； ③f（x）=lg（x²+2）；④f（x）=x．其中是“1的飽和函數”的所有函數的序號是

 

．

Answer 1

考點：函數的值

專題：函數的性質及應用

分析：利用“1的飽和函數”的定義和函數的性質求解．

解答： 解：①f（x）=

1

x

，D=（-∞，0）∪（0，+∞），
若f（x）=

1

x

是“1的飽和函數”，
則存在非零實數x₀，使得

1

x0+1

=

1

x0

+1，
即x₀²+x₀+1=0，
因為此方程無實數解，所以函數f（x）=

1

x

不是“1的飽和函數”．
②f（x）=2^x，D=R，則存在實數x₀，使得2x0+1=2x0+2解得x₀=1，
因為此方程有實數解，
所以函數f（x）=2^x是“1的飽和函數”．
③f（x）=lg（x²+2），若存在x，使f（x+1）=f（x）+f（1）
則lg[（x+1）²+2]=lg（x²+2）+lg3
即2x²-2x+3=0，
∵△=4-24=-20＜0，故方程無解．即f（x）=lg（x²+2）不是“1的飽和函數”．
④f（x）=x，存在x，使得f（x+1）=f（x）+f（1），
即f（x）=x是“1的飽和函數”．
故答案為：②④．

點評：本題考查“1的飽和函數”的判斷，是基礎題，解題時要注意函數的性質的合理運用