Question

已知圓C：x²+y²+x-6y+m=0和直線l：x+y-3=0
（Ⅰ）求m的取值范圍；
（Ⅱ）當(dāng)圓C與直線l相切時(shí)，求圓C關(guān)于直線l的對(duì)稱圓方程；
（Ⅲ）若圓C與直線l交于P、Q兩點(diǎn)，是否存在m，使以PQ為直徑的圓經(jīng)過(guò)原點(diǎn)O？

Answer 1

考點(diǎn)：直線與圓的位置關(guān)系

專題：綜合題,直線與圓

分析：（Ⅰ）圓C：x²+y²+x-6y+m=0可化為圓C：（x+

1

2

^）2+（y-3）²=-m+

37

4

，即可求m的取值范圍；
（Ⅱ）圓C與直線l相切，可得 R=d=

|- 1 2 +3-3|

2

=

1

2 2

，求出C(-

1

2

，3)關(guān)于直線l的對(duì)稱點(diǎn)，即可求圓C關(guān)于直線l的對(duì)稱圓方程；
（Ⅲ）設(shè)圓方程x²+y²+x-6y+m+λ（x+y-3）=0，可得圓心(-

1+λ

2

，-

λ-6

2

)，代入直線l得λ=-

1

2

，圓過(guò)原點(diǎn)得m=3λ=-

3

2

，即可得出結(jié)論．

解答： 解：（Ⅰ）圓C：x²+y²+x-6y+m=0可化為圓C：（x+

1

2

^）2+（y-3）²=-m+

37

4

，
∵-m+

37

4

＞0，
∴m＜

37

4

-------------3分 
（Ⅱ）圓C：x²+y²+x-6y+m=0，
∴圓心C（-

1

2

，3），
∵圓C與直線l相切，
∴R=d=

|- 1 2 +3-3|

2

=

1

2 2

，-------------5分
設(shè)C(-

1

2

，3)關(guān)于直線l的對(duì)稱點(diǎn)M（a，b），則

b-3 a+ 1 2 ×(-1)=-1 a+ 1 2 2 + b-3 2 -3=0

，∴a=0，b=

7

2

，-------------7分
故所求圓的方程為：x2+(y-

7

2

)2=

1

8

------------8分
（Ⅲ）設(shè)圓方程x²+y²+x-6y+m+λ（x+y-3）=0，可得圓心(-

1+λ

2

，-

λ-6

2

)
代入直線l得λ=-

1

2

，
圓過(guò)原點(diǎn)得m=3λ=-

3

2

，檢驗(yàn)滿足，
故存在m=-

3

2

，使以PQ為直徑的圓經(jīng)過(guò)原點(diǎn)O．------------12分

點(diǎn)評(píng)：本題考查直線與圓的性質(zhì)的綜合應(yīng)用，考查運(yùn)算求解能力，推理論證能力；考查化歸與轉(zhuǎn)化思想．對(duì)數(shù)學(xué)思維的要求比較高，有一定的探索性．綜合性強(qiáng)，難度大，是高考的重點(diǎn)．解題時(shí)要認(rèn)真審題，仔細(xì)解答．