【題目】在三棱柱中，，側(cè)面是邊長(zhǎng)為2的正方形，點(diǎn)，分別在線段、上，且，，.

（Ⅰ）證明：平面平面；

（Ⅱ）若，求直線與平面所成角的正弦值.

【答案】（1）證明見解析；（2）.

【解析】

試題（1）取線段中點(diǎn)，連接．通過證明，從而有，而，所以面，面，所以面面；（2）記線段中點(diǎn)為，連接，由（1）知，兩兩互相垂直，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以為正交基底建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系.用法向量的方法求直線與平面所成角的正弦值為.

試題解析：

解：

（1）取線段中點(diǎn)，連接．

在正方形中，，

在和中，，

又，所以，

∴，

從而，

所以，即2分

又，

所以面．

面，

∴4分

在等腰三角形中，，又與相交，知

∴面，

面，∴面面6分

（2）

在等腰三角形中，由知，且，

記線段中點(diǎn)為，連接，由（1）知，兩兩互相垂直，

以為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以為正交基底建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，則

8分

設(shè)平面的法向量為，則，即

，

取，則，從而得到平面的一個(gè)法向量10分

，記直線與平面所成角為，

則．

故直線與平面所成角的正弦值為12分

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【題目】如圖，在四棱錐中，底面為等腰梯形，，其中點(diǎn)在以為直徑的圓上，，，，平面平面.

（1）證明：平面.

（2）求二面角的正弦值.

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【題目】有下列四個(gè)命題：①“若，則，互為倒數(shù)”的逆命題；②“面積相等的三角形全等”的否命題；③“若，則有實(shí)數(shù)解”的逆否命題；④“若，則”的逆否命題．其中真命題為________（填寫所有真命題的序號(hào)）．

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【題目】若雙曲線與雙曲線有共同的漸近線，且過點(diǎn).

（1）求雙曲線的方程；

（2）過的直線與雙曲線的左支交于、兩點(diǎn)，求直線斜率的取值范圍.

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【題目】如圖，四棱錐中，底面 ABCD為矩形，側(cè)面為正三角形，且平面平面 E 為 PD 中點(diǎn)，AD=2.

(1)證明平面AEC丄平面PCD;

(2)若二面角的平面角滿足，求四棱錐 的體積.

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【題目】已知函數(shù)，其中，為自然對(duì)數(shù)的底數(shù).

（1）若函數(shù)的圖象在處的切線與直線垂直，求的值；

（2）關(guān)于的不等式在上恒成立，求的取值范圍；

（3）討論函數(shù)極值點(diǎn)的個(gè)數(shù).

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【題目】如圖,正方形中,分別是的中點(diǎn)將分別沿折起,使重合于點(diǎn).則下列結(jié)論正確的是（ ）

A.

B. 平面

C. 二面角的余弦值為

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【題目】在平面直角坐標(biāo)系中,圓外的點(diǎn)在軸的右側(cè)運(yùn)動(dòng),且到圓上的點(diǎn)的最小距離等于它到軸的距離,記的軌跡為.

（1）求的方程；

（2）過點(diǎn)的直線交于,兩點(diǎn),以為直徑的圓與平行于軸的直線相切于點(diǎn),線段交于點(diǎn),證明：的面積是的面積的四倍.

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【題目】由中央電視臺(tái)綜合頻道（）和唯眾傳媒聯(lián)合制作的《開講啦》是中國(guó)首檔青春電視公開課。每期節(jié)目由一位知名人士講述自己的故事，分享他們對(duì)于生活和生命的感悟，給予中國(guó)青年現(xiàn)實(shí)的討論和心靈的滋養(yǎng)，討論青年們的人生問題，同時(shí)也在討論青春中國(guó)的社會(huì)問題，受到青年觀眾的喜愛，為了了解觀眾對(duì)節(jié)目的喜愛程度，電視臺(tái)隨機(jī)調(diào)查了、兩個(gè)地區(qū)的100名觀眾，得到如下的列聯(lián)表：

非常滿意

滿意

合計(jì)

30

合計(jì)

已知在被調(diào)查的100名觀眾中隨機(jī)抽取1名，該觀眾是地區(qū)當(dāng)中“非常滿意”的觀眾的概率為，且.

（Ⅰ）現(xiàn)從100名觀眾中用分層抽樣的方法抽取20名進(jìn)行問卷調(diào)查，則應(yīng)抽取“滿意”的、地區(qū)的人數(shù)各是多少；

（Ⅱ）完成上述表格，并根據(jù)表格判斷是否有的把握認(rèn)為觀眾的滿意程度與所在地區(qū)有關(guān)系；

（Ⅲ）若以抽樣調(diào)查的頻率為概率，從地區(qū)隨機(jī)抽取3人，設(shè)抽到的觀眾“非常滿意”的人數(shù)為，求的分布列和期望.

附：參考公式：

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