Question

數(shù)列{a_n}滿足a₁=2，a_n+1=a_n²+6a_n+6（n∈N^*）．
（Ⅰ）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（Ⅱ）設(shè)b_n=

1

an-6

-

1

an2+6an

，數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和為T_n，求證：-

5

16

≤T_n＜-

1

4

．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)列遞推式

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（Ⅰ）由a_n+1=a_n²+6a_n+6得：a_n+1+3=（a_n+3）²，從而得到數(shù)列{lg（a_n+3）}是以lg（a₁+3）=lg5為首項(xiàng)，以2為公比的等比數(shù)列，由此能求出a_n=52n-1-3．
（Ⅱ）b_n=

1

an-6

-

1

an2+6an

=

1

an-6

-

1

an+1-6

，從而T_n=-

1

52n-9

，由此能證明-

5

16

≤Tn＜-

1

4

．

解答： （本小題滿分12分）
解：（Ⅰ）由a_n+1=a_n²+6a_n+6得：a_n+1+3=（a_n+3）²
兩邊同時(shí)取對(duì)數(shù)得：lg（a_n+1+3）=2lg（a_n+3），
∴數(shù)列{lg（a_n+3）}是以lg（a₁+3）=lg5為首項(xiàng)，以2為公比的等比數(shù)列，
∴l(xiāng)g（a_n+3）=lg5•2^n-1，
∴a_n=52n-1-3．
（Ⅱ）∵數(shù)列{a_n}滿足a₁=2，a_n+1=a_n²+6a_n+6（n∈N^*）．
∴b_n=

1

an-6

-

1

an2+6an

=

1

an-6

-

1

an+1-6

，
∴T_n=

1

a1-6

-

1

a2-6

+

1

a3-6

-

1

a4-6

+…+

1

an-6

-

1

an+1-6

=

1

a1-6

-

1

an+1-6

=-

1

52n-9

，
∵n≥1，∴2ⁿ≥2，∴52n≥25，
∴52n-1-9≥16，
∴0＜

1

52n-9

≤

1

16

，
∴-

1

16

≤-

1

52n-9

＜0，
∴-

5

16

≤-

1

4

-

1

52n-9

＜-

1

4

，
∴-

5

16

≤Tn＜-

1

4

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查數(shù)列的通項(xiàng)公式的求法，考查不等式的證明，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意裂項(xiàng)求和法的合理運(yùn)用．