Question

已知數(shù)列{a_n}的前n項和，且a_n是b_n和1的等差中項．
（1）求數(shù)列{a_n}與{b_n}的通項公式；
（2）若，求；
（3）若是否存在n∈N^*，使f（n+11）=2f（n）？說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）利用a_n與S_n的關系求出數(shù)列{a_n}的通項公式，然后利用a_n是b_n和1的等差中項，求出{b_n}的通項公式．
（2）求出數(shù)列{C_n}的通項公式，然后利用裂項法求和．
（3）先求出f（n）的表達式，然后通過等式f（n+11）=2f（n），求n．
解答：解：（1）因為，
所以當n≥2時，a_n=S_n-S_n-1=n-1，n=1也成立，
所以a_n=n-1．
因為a_n是b_n和1的等差中項，所以b_n+1=2a_n，所以b_n=2a_n-1=2n-3…（3分）．
（2）因為，
所以==…（6分）
（3）當n=2k-1時，f（n+11）=2n+19，
2f（n）=2（n-1），f（n+11）=2f（11）
⇒2n+19=2n-2無解  …（9分）
當n=2k（k∈z）時f（n）=2n-3，f（n+1）=n+10，f（n+11）=2f（n），
所以n+10=4n-6，此時無整數(shù)解，
故這樣的值不存在．              …（12分）
點評：本題主要考查數(shù)列的通項公式以及利用裂項法求和．考查學生的運算能力