12．若f（x）是定義在（0，+∞）上的增函數(shù)，且對于任意x＞0滿足f （$\frac{x}{y}$）=f（x）-f （y）．
（1）求f（1）的值；
（2）若f（6）=1，試求解不等式f（x+5）-f （$\frac{1}{x}$）＜2．

分析 （1）令x=y=1，即可求得f（1）的值；
（2）由f（6）=1，f （$\frac{x}{y}$）=f（x）-f （y），可求得f（36）=2，依題意，可將不等式f（x+5）-f （$\frac{1}{x}$）＜2轉(zhuǎn)化為f[x（x+5）]＜f（36），再利用函數(shù)的單調(diào)性即可求得不等式f（x+5）-f （$\frac{1}{x}$）＜2的解集．

解答 解：（1）∵對于任意x＞0滿足f （$\frac{x}{y}$）=f（x）-f （y），
令x=y=1，得：f（1）=0；
（2）若f（6）=1，則f（$\frac{36}{6}$）=f（36）-f（6），即f（36）=2f（6）=2，
∴f（x+5）-f （$\frac{1}{x}$）＜2?f[x（x+5）]＜f（36），
∵f（x）是定義在（0，+∞）上的增函數(shù)，
∴$\left\{\begin{array}{l}{x+5＞0}\\{x＞0}\\{x（x+5）＜36}\end{array}\right.$，解得：0＜x＜4．
∴不等式f（x+5）-f （$\frac{1}{x}$）＜2的解集為{x|0＜x＜4}．

點(diǎn)評 本題考查抽象函數(shù)及其應(yīng)用，考查賦值法與解不等式的能力，屬于中檔題．

練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：選擇題

2．如圖算法框圖中含有的基本結(jié)構(gòu)是（　　）
A．順序結(jié)構(gòu)B．條件結(jié)構(gòu)
C．模塊結(jié)構(gòu)D．順序結(jié)構(gòu)和條件結(jié)構(gòu)

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：填空題

3．拋物線x=ay2（a≠0）的準(zhǔn)線方程是$x=-\frac{1}{4a}$．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

20．已知點(diǎn)P是直線2x-y+3=0上的一個(gè)動點(diǎn)，定點(diǎn)M（-1，2），Q，是線段PM延長線上的一點(diǎn)，且PM=MQ，求點(diǎn)Q的軌跡方程．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：填空題

7．已知${log_4}（3a+4b）={log_2}\sqrt{2ab}$，則a+b的最小值為$\frac{7+4\sqrt{3}}{2}$．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：選擇題

17．命題“a＞-5，則a＞-8”以及它的逆命題、否命題、逆否命題，真命題的個(gè)數(shù)是（　�。�
A．1B．2C．3D．4

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：選擇題

4．已知函數(shù)f（x）=asinx-bcosx（a，b為常數(shù)，a≠0，x∈R）在x=$\frac{π}{4}$處取得最大值，則函數(shù)y=f（x+$\frac{π}{4}$）是（　�。�
A．奇函數(shù)且它的圖象關(guān)于點(diǎn)（π，0）對稱
B．偶函數(shù)且它的圖象關(guān)于點(diǎn)（$\frac{3π}{2}$，0）對稱
C．奇函數(shù)且它的圖象關(guān)于點(diǎn)（$\frac{3π}{2}$，0）對稱
D．偶函數(shù)且它的圖象關(guān)于點(diǎn)（π，0）對稱

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

1．已知函數(shù)f（x）=sinx+cosx，x∈R
（Ⅰ）求f（x）的最小正周期；
（Ⅱ） 若f（α）=$\frac{3}{4}$，求sin2α的值．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

2．已知函數(shù)$f（x）=ax-\frac{1}{x}-（a+1）lnx，a∈R$．
（I）求函數(shù)f（x）在$x=\frac{1}{2}$處的切線方程為4x-y+m=0時(shí)，此時(shí)函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（Ⅱ）若$a＞\frac{1}{e}$，判斷函數(shù)g（x）=x[f（x）+a+1]的零點(diǎn)的個(gè)數(shù)．

查看答案和解析>>

同步練習(xí)冊答案