Question

已知函數(shù)f（x）=lnx-ax²+x，（a＞0）
（I）求a的最大值，使函數(shù)f（x）在（0，+∞）內(nèi)是單調(diào)函數(shù)；
（II）若對于任意的x∈（0，+∞），總有f（x）≤0，求a的取值范圍．

Answer 1

【答案】分析：（I）由題意可得：f′（x）=，（x＞0）分別討論當a≤0時與當a＞0時，導數(shù)與0的大小，進而得到函數(shù)的單調(diào)性，即可得到答案．
（II）由f（1）=1-a得，顯然a＜1時，f（x）≤0不恒成立．當a≥0時，由f′（x₂）=0可得，所以f（x₂）=lnx₂-，結合題意可得x₂≤1，所以f（x）≤f（x₂）利用放縮進而得到答案．
解答：解：（I）由題意可得：f′（x）==，（x＞0）
當a≤0時，f′（x）＞0，所以此時f（x）在（0，+∞）內(nèi)是單調(diào)遞增．
當a＞0時，方程-2ax²+x+1=0的判別式△=1+8a＞0，此時它有兩個不相等的實根x₁，x₂（x₁＜x₂），
因為x₁x₂=，所以x₁＜0＜x₂．
當x∈（0，x₂）時，f′（x）＞0；當x∈（x₂，+∞）時，f′（x）＜0，
所以函數(shù)f（x）在（0，+∞）內(nèi)不是單調(diào)函數(shù)，
所以a的最大值為0．
（II）由f（1）=1-a可得，當a＜1時，f（x）≤0不恒成立．
當a≥0時，由f′（x₂）=0可得，
所以f（x₂）=lnx₂-ax₂²+x₂=lnx₂-+x₂=lnx₂-，
因為f′（1）=2（1-a）≤0，由（I）可得x₂≤1，并且f（x₂）是f（x）最大值，
所以f（x）≤f（x₂）=lnx₂-≤ln1+-=0．
所以a的取值范圍為[1，+∞）．
點評：解決此類問題的關鍵是熟練掌握利用導數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值，以及利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性．