Question

1．在直角坐標(biāo)系xOy中，直線(xiàn)l的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}x=-1+tcosα\\ y=tsinα\end{array}\right.$（t為參數(shù)，α∈（0，$\frac{π}{2}$）），以原點(diǎn)O為極點(diǎn)，x軸非負(fù)半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線(xiàn)C的極坐標(biāo)方程為ρ=$\frac{4cosθ}{{{{sin}^2}θ}}$．
（1）求曲線(xiàn)C的直角坐標(biāo)方程；
（2）若直線(xiàn)l與曲線(xiàn)C相交于A，B兩點(diǎn)，線(xiàn)段AB的中點(diǎn)橫坐標(biāo)為1，求直線(xiàn)l的普通方程．

Answer 1

分析 （1）由$ρ=\frac{4cosθ}{{{{sin}^2}θ}}$得ρ²sin²θ=4ρcosθ；利用極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)互化公式可得曲線(xiàn)C的直角坐標(biāo)方程．
（2）將直線(xiàn)參數(shù)方程代入拋物線(xiàn)方程整理得sin²α•t²-4cosα•t+4=0；利用根與系數(shù)的關(guān)系、中點(diǎn)坐標(biāo)公式即可得出．

解答 解：（1）由$ρ=\frac{4cosθ}{{{{sin}^2}θ}}$得ρ²sin²θ=4ρcosθ；
又x=ρcosθ，y=ρsinθ，
∴曲線(xiàn)C的直角坐標(biāo)方程為y²=4x．
（2）將$\left\{\begin{array}{l}x=-1+tcosα\\ y=tsinα\end{array}\right.（t為參數(shù)，α∈（0，\frac{π}{2}））$代入y²=4x，
整理得sin²α•t²-4cosα•t+4=0；
∴線(xiàn)段AB的中點(diǎn)對(duì)應(yīng)參數(shù)為${t_0}=\frac{{{t_1}+{t_2}}}{2}=\frac{2cosα}{{{{sin}^2}α}}$；
又線(xiàn)段AB的中點(diǎn)橫坐標(biāo)為1，
∴$-1+\frac{{2{{cos}^2}α}}{{{{sin}^2}α}}=1$，即tan²α=1．
又$α∈（0，\frac{π}{2}）$，則tanα=1，
∴直線(xiàn)l的普通方程為y=x+1．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)方程的互化、參數(shù)方程化為普通方程及其應(yīng)用、三角函數(shù)基本關(guān)系式，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．