Question

給出下列命題：
①函數(shù)f（x）=

ln(x+3)

1-2x

的定義域是（-3，1）；
②在區(qū)間（0，1）中隨機地取出兩個數(shù)，則兩數(shù)之和小于1的概率是

1

2

；
③如果數(shù)據(jù)x₁、x₂、…、x_n 的平均值為a₁=-8，a₂=-6，方差為S²，則3x₁+5、3x₂+5、…、3x_n+5 的方差為9S²；
④直線ax-y+2a=0與圓x²+y²=9相交；
其中真命題個數(shù)是（　�。�

• A、1
• B、2
• C、3
• D、4

Answer 1

考點：命題的真假判斷與應用

專題：概率與統(tǒng)計

分析：①由

x+3＞0 1-2x＞0

可求得函數(shù)f（x）=

ln(x+3)

1-2x

的定義域；
②利用古典概型，作出可行域，即可求得兩數(shù)之和小于1的概率是

1

2

；
③利用線性函數(shù)的均值與方差的性質可判斷③的正誤；
④依題意知直線ax-y+2a=0恒過定點P（-2，0），而點P在圓x²+y²=9內部，從而可知④之正誤．

解答： 解：①由

x+3＞0 1-2x＞0

得：-3＜x＜0，故函數(shù)f（x）=

ln(x+3)

1-2x

的定義域是（-3，0），①錯誤；
②在區(qū)間（0，1）中隨機地取出兩個數(shù)a，b，則0＜a＜1，0＜b＜1，依題意，a+b＜1，作出可行域，

則兩數(shù)之和小于1的概率P=

1

2

，故②正確；
③∵數(shù)據(jù)x₁、x₂、…、x_n 的平均值為

.

x

，方差為S²，則ax₁+b、ax₂+b、…、ax_n+b的平均值為a

.

x

，方差為a²S²，
∴數(shù)據(jù)x₁、x₂、…、x_n 的平均值為

.

x

，方差為S²，則3x₁+5、3x₂+5、…、3x_n+5 的方差為9S²，正確；
④∵直線ax-y+2a=0恒過定點P（-2，0），而（-2）²+0²＜9，即點P在圓x²+y²=9內部，故直線ax-y+2a=0與圓x²+y²=9相交，即④正確；
故選：C．

點評：本題考查命題的真假判斷與應用，著重考查函數(shù)的定義域、古典概型及均值與方程的應用，屬于中檔題．