Question

11．已知f（x）=x+alnx（a＞0）對(duì)于區(qū)間[1，3]內(nèi)的任意兩個(gè)相異實(shí)數(shù)x₁，x₂，恒有$|f（{x_1}）-f（{x_2}）|＜|\frac{1}{x_1}-\frac{1}{x_2}|$成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（0，$\frac{8}{3}$）．

Answer 1

分析 問題等價(jià)于|1+$\frac{a（l{nx}_{1}-l{nx}_{2}）}{{{x}_{1}-x}_{2}}$|＜$\frac{1}{{{|x}_{1}x}_{2}|}$，（1），由x₁，x₂→$\frac{1}{3}$時(shí)（1）變?yōu)閨1+3a|＜9，由x₁，x₂→1時(shí)（1）變?yōu)閨1+a|＜1，得到關(guān)于a的不等式，解出即可．

解答 解：已知a＞0，f（x）=x+alnx，
對(duì)區(qū)間[1，3]內(nèi)的任意兩個(gè)相異的實(shí)數(shù)x₁，x₂，恒有|f（x₁）-f（x₂）|＜|$\frac{1}{{x}_{1}}$-$\frac{1}{{x}_{2}}$|，
∴|x₁-x₂+a（lnx₁-lnx₂）|＜|$\frac{{{x}_{1}-x}_{2}}{{{x}_{1}x}_{2}}$|，
兩邊都除以|x₁-x₂|，
∵|1+$\frac{a（l{nx}_{1}-l{nx}_{2}）}{{{x}_{1}-x}_{2}}$|＜$\frac{1}{{{|x}_{1}x}_{2}|}$，（1）
（lnx）′=$\frac{1}{x}$∈[$\frac{1}{3}$，1]，
∴$\frac{l{nx}_{1}-l{nx}_{2}}{{{x}_{1}-x}_{2}}$∈[$\frac{1}{3}$，1]，
x₁，x₂→$\frac{1}{3}$時(shí)（1）變?yōu)閨1+3a|＜9，
解得：-$\frac{10}{3}$＜a＜$\frac{8}{3}$，
x₁，x₂→1時(shí)（1）變?yōu)閨1+a|＜1，
解得：-2＜a＜0，
又∵a＞0，
∴0＜a＜$\frac{8}{3}$，
故答案為（0，$\frac{8}{3}$）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了求函數(shù)閉區(qū)間上的最值問題，考查了導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，是一道中檔題．