10.三角形ABC中,E為AC的中點(diǎn),$\overrightarrow{BD}$=2$\overrightarrow{DC}$,且$\overrightarrow{AD}$與$\overrightarrow{EB}$夾角為120°,|$\overrightarrow{AD}$|=1,|$\overrightarrow{BE}$|=2,則$\overrightarrow{AB}$•$\overrightarrow{AC}$=-$\frac{32}{25}$.

分析 分別根據(jù)向量的加減的結(jié)合意義,用$\overrightarrow{AD}$,$\overrightarrow{BE}$表示出$\overrightarrow{AB}$,$\overrightarrow{AC}$,再根據(jù)向量數(shù)量積運(yùn)算即可求出.

解答 解:∵$\overrightarrow{AC}$=$\overrightarrow{AD}$+$\overrightarrow{DC}$=$\overrightarrow{AD}$+$\frac{1}{3}$$\overrightarrow{BC}$=$\overrightarrow{AD}$+$\frac{1}{3}$($\overrightarrow{AC}$-$\overrightarrow{AB}$),
∴2$\overrightarrow{AC}$+$\overrightarrow{AB}$=3$\overrightarrow{AD}$,①
∵$\overrightarrow{AB}$=$\overrightarrow{AE}$-$\overrightarrow{BE}$=$\frac{1}{2}$$\overrightarrow{AC}$-$\overrightarrow{BE}$,
∴$\overrightarrow{AC}$-2$\overrightarrow{AB}$=2$\overrightarrow{BE}$,②,
由①②可得$\overrightarrow{AB}$=-$\frac{4}{5}$$\overrightarrow{BE}$+$\frac{3}{5}$$\overrightarrow{AD}$,$\overrightarrow{AC}$=$\frac{2}{5}$$\overrightarrow{BE}$+$\frac{6}{5}$$\overrightarrow{AD}$,
∵$\overrightarrow{AD}$與$\overrightarrow{EB}$夾角為120°,|$\overrightarrow{AD}$|=1,|$\overrightarrow{BE}$|=2,
∴$\overrightarrow{AD}$•$\overrightarrow{BE}$=|$\overrightarrow{AD}$|•|$\overrightarrow{BE}$|•cos(180°-120°)=1×2×$\frac{1}{2}$=1,
∴$\overrightarrow{AB}$•$\overrightarrow{AC}$=(-$\frac{4}{5}$$\overrightarrow{BE}$+$\frac{3}{5}$$\overrightarrow{AD}$)•($\frac{2}{5}$$\overrightarrow{BE}$+$\frac{6}{5}$$\overrightarrow{AD}$)
=-$\frac{8}{25}$${\overrightarrow{BE}}^{2}$+$\frac{18}{25}$${\overrightarrow{AD}}^{2}$-$\frac{18}{25}$$\overrightarrow{AD}$•$\overrightarrow{BE}$=-$\frac{8}{25}$×4+$\frac{18}{25}$×1-$\frac{18}{25}$×1=-$\frac{32}{25}$,
故答案為:-$\frac{32}{25}$

點(diǎn)評 本題考查了平面向量加減運(yùn)算以及數(shù)量積的定義運(yùn)用,屬于中檔題.

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(3)某同學(xué)在觀察小球擺動時,用照相機(jī)隨機(jī)記錄了小球的位置,他共拍攝了300張照片,并且想估算出大約有多少張照片滿足小球離開平衡位置的距離(位移的絕對值)比t=0時小球離開平衡位置的距離。疄榱私鉀Q這個問題,他通過分析,將上述函數(shù)化簡為f(x)=3cos(x+$\frac{π}{3}$),x∈[0,2π).請幫他在圖2中畫出y=f(x)的圖象并解決上述問題.

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