Question

【題目】設(shè)無窮數(shù)列的前項和為，已知，．

（1）求的值；

（2）求數(shù)列的通項公式；

（3）是否存在數(shù)列的一個無窮子數(shù)列，使對一切均成立?若存在，請寫出數(shù)列的所有通項公式；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）不存在數(shù)列的一個無窮子數(shù)列，使，對一切均成立..

【解析】

（1）令，則，解得.

（2），

，，

兩式相減得，又因為，故數(shù)列的首項為1，公差為1的等差數(shù)列，所以，故.

（3）假設(shè)存在數(shù)列的一個無窮子數(shù)列，使對一切均成立，

則，

因為為無窮子數(shù)列，則存在使得

.

所以整理得，與為遞增數(shù)列矛盾，故假設(shè)不成立，

即不存在數(shù)列的一個無窮子數(shù)列，使，對一切均成立.

（1）令，

（2），

，，

兩式相減得，

整理得，又因為，

故數(shù)列的首項為1，公差為1的等差數(shù)列，

所以，故.

（3）假設(shè)存在數(shù)列的一個無窮子數(shù)列，使對一切均成立，

則，

因為為無窮子數(shù)列，則存在使得

.

所以整理得，

由（2）得，數(shù)列為數(shù)列的一個無窮子數(shù)列，則為遞增數(shù)列，這與矛盾，故假設(shè)不成立，

即不存在數(shù)列的一個無窮子數(shù)列，使，對一切均成立.