Question

（本小題滿分14分）

如圖，四邊形中（圖1），是的中點，，，將（圖1）沿直線折起，使二面角為（如圖2）

    （1）求證：平面；

    （2）求異面直線與所成角的余弦值；

    （3）求點到平面的距離.

 

 

 

 

 

Answer 1

【答案】

解：

（1）   如圖取BD中點M，連接AM，ME。因  ……1分

     因 ， 滿足：,

所以是BC為斜邊的直角三角形，,                          

因是的中點,所以ME為的中位線 ，

,                                              …… 2分

 是二面角的平面角=                  ……3分  

   ,且AM、ME是平面AME內兩相交于M的直線

平面AEM                     ……4分

  因,為等腰直角三角形，

                                 ……  6分

          ……  7分

 

（2）如圖，以M為原點MB為x軸，ME為y軸，建立空間直角坐標系，…….. 8分

則由（1）及已知條件可知B(1,0,0),，

,D,C

             …… 9分

設異面直線與所成角為,

 

則 ……10分 

 ……11分

由可知滿足，

是平面ACD的一個法向量,                   …… 12分

記點到平面的距離d，則在法向量方向上的投影絕對值為d  

則  ……13分   所以d        …… 14分

（2），(3)解法二：

取AD中點N，連接MN,則MN是的中位線,MN//AB,又ME//CD

所以直線與所成角為等于MN與ME所成的角，

即或其補角中較小之一                                          ……  8分

，N為在斜邊中點

所以有NE=,MN=,ME=,

         …….9分

=                      ……10分

(3)記點到平面的距離d，則三棱錐B-ACD的體積,   ……11分

又由（1）知AE是A-BCD的高、 …..12分

E為BC中點，AEBC 又, ,

        ……13分

 到平面的距離                 ……14分

 

 

解法三：(1) 因 ， 滿足：, , 1分

如圖，以D為原點DB為x軸，DC為y軸，建立空間直角坐標系，          …….. 2分

則條件可知D(0,0,0), B(2,0,0),C(0,1,0)，, A(a,b,c)  (由圖知a>0,b>0,c>0) …….3分

得 ….. 4分

平面BCD的法向量可取,

，所以平面ABD的一個法向量為        5分

則銳二面角的余弦值 …..6分

從而有,                 7分

所以平面          9分

(2)由（1），D(0,0,0), B(2,0,0),C(0,1,0)，

   設異面直線與所成角為,則 ……10分 

 ……11分

(3)由可知滿足，

是平面ACD的一個法向量,                   …… 12分

記點到平面的距離d，則在法向量方向上的投影絕對值為d  

則  ……13分   所以d        …… 14分

 

【解析】略