(07年四川卷文)(12分)如圖,平面平面
,
,
,直線
與直線
所成的角為60°,又
,
,
.
(Ⅰ)求證:;
(Ⅱ)求二面角的大;
(Ⅲ)求多面體的體積.
解析:本題主要考查異面直線所成的角、平面與平面垂直、二面角、棱錐體積等有關知識,考查思維能力和空間想象能力、應用向量知識解決數學問題的能力、化歸轉化能力和推理運算能力.
(Ⅰ)∵平面平面
,
,
平面
.
∴平面
又∵平面
∴
(Ⅱ)取的中點
,則
.連接
、
.
∵平面平面
,平面
平面
,
.
∴平面
.
∵,∴
,從而
平面
.
作于
,連結
,則由三垂線定理知
.
從而為二面角
的平面角.
∵直線與直線
所成的角為60°,
∴ .
在中,由勾股定理得
.
在中,
.
在中,
.
在中,
故二面角的大小為
(Ⅱ)如圖以為原點建立空間直角坐標系
.
設,
有,
,
.
,
由直線與直線
所成的角為60°,得
即,解得
.
∴,
設平面的一個法向量為
,則
由,取
,得
取平面的一個法向量為
則
由圖知二面角為銳二面角,
故二面角的大小為
.
(Ⅲ)多面體就是四棱錐
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