Question

設(shè)函數(shù)f(x)=

1

3

ax3+

1

2

(a+b)x2+bx的圖象過點(diǎn)（-1，2）．
（Ⅰ）試用a表示b；
（Ⅱ）當(dāng)a=3時(shí)，求f（x）的單調(diào)區(qū)間與極值；
（Ⅲ）若a＜0且f（-1）是函數(shù)f（x）的極小值，求a的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）函數(shù)圖象過點(diǎn)（-1，2），將坐標(biāo)代入整理可得；
（2）a=3時(shí)確定出b=-3，確定出函數(shù)解析式，求出導(dǎo)函數(shù)令其大于零得到增區(qū)間；令其小于零得到減區(qū)間．并求出函數(shù)的極值即可．
（3）求出導(dǎo)函數(shù)的極值點(diǎn)，因?yàn)閍＜0且f（-1）是函數(shù)f（x）的極小值，比較出兩個(gè)駐點(diǎn)的大小列出不等式求出解集即可．

解答：解：（Ⅰ）∵函數(shù)f(x)=

1

3

ax3+

1

2

(a+b)x2+bx的圖象過點(diǎn)（-1，2）
∴-

1

3

a+

1

2

(a+b)-b=2，整理得，a-3b-12=0
故b=

a-12

3

；
（Ⅱ）當(dāng)a=3時(shí)，由a-3b-12=0得，b=-3
∴f（x）=x³-3x，f′（x）=3x²-3=3（x+1）（x-1）
令f′（x）=0，解得x₁=-1，x₂=1．
當(dāng)x變化時(shí)，f′（x），f（x）的變化情況如下表：

故f（x）的單調(diào)增區(qū)間是（-∞，-1），（1，+∞），單調(diào)減區(qū)間是（-1，1）；極大值是f（-1）=2，極小值是f（1）=-2；
（Ⅲ）f′（x）=ax²+（a+b）x+b=（x+1）（ax+b）
∵a＜0且f（-1）是函數(shù)f（x）的極小值，∴-

b

a

＞-1
又∵a-3b-12=0，∴b=

a-12

3

，∴-

a-12

3a

＞-1
解得，a＜-6
故a的取值范圍為（-∞，-6）．

點(diǎn)評(píng)：考查學(xué)生利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性的能力即利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)極值的能力．