14．中國古代數(shù)學(xué)家趙爽設(shè)計的弦圖（如圖1）是由四個全等的直角三角形拼成，四個全等的直角三角形也可拼成圖2所示的菱形，已知弦圖中，大正方形的面積為100，小正方形的面積為4，則圖2中菱形的一個銳角的正弦值為（　　）
A．$\frac{24}{25}$B．$\frac{3}{5}$C．$\frac{4}{5}$D．$\frac{7}{25}$

分析 由題意，圖2是四個全等的直角三角形拼成，只需求出圖1中一個直角三角形的小銳角的正余弦值，利用二倍角即可求出圖2中菱形的一個銳角的正弦值．

解答 解：由題意，大正方形的面積為100，其邊長為10，小正方形的面積為4，其邊長為2．
 每個直角三角形的面積為$\frac{1}{4}（100-4）=24$．
設(shè)圖1中一個直角三角形的邊長為m，n+2，
可得：$\left\{\begin{array}{l}{\frac{1}{2}m（n+2）=24}\\{{m}^{2}+（n+2）^{2}=1{0}^{2}}\end{array}\right.$，
解得：m=n=6
設(shè)小邊所對的角為θ，則$sinθ=\frac{6}{10}=\frac{3}{5}$，$cosθ=\frac{4}{5}$，
那么：$sin2θ=2sinθcosθ=\frac{24}{25}$．即圖2中菱形的一個銳角的正弦值為$\frac{24}{25}$
故選：A．

點評 本題考查了直角三角形的性質(zhì)的應(yīng)用和二倍角公式的計算．屬于基礎(chǔ)題．

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4．已知斜三棱柱ABC-A1B1C1中，二面角A1-AC-B是直二面角，∠ABC=90°，BC=2，AC=2$\sqrt{3}$，且AA1⊥A1C，AA1=A1C．
（1）求側(cè)棱A1A與底面ABC所成角的大小；
（2）求四棱錐C-AA1B1B的體積．

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5．已知函數(shù)f（x）=acosx+x2，x∈（-$\frac{π}{2}$，$\frac{π}{2}$），a∈R．
（Ⅰ）若曲線y=f（x）在點（$\frac{π}{6}$，f（$\frac{π}{6}$））處的切線的斜率為$\frac{1}{2}+\frac{π}{3}$，求曲線y=f（x）在點（0，f（0））處的切線方程；
（Ⅱ）若f（x）≥2恒成立，求a的取值范圍．

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2．已知橢圓C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）的左、右焦點分別為F1、F2，N（0，-1）為橢圓的一個頂點，且右焦點F2到雙曲線x2-y2=2漸近線的距離為$\sqrt{2}$．
（1）求橢圓C的方程；
（2）設(shè)直線l：y=kx+m（k≠0）與橢圓C交于A、B兩點．
①若NA，NB為鄰邊的平行四邊形為菱形，求m的取值范圍；
②若直線l過定點P（1，1），且線段AB上存在點T，滿足$\frac{|AP|}{|AT|}$=$\frac{|PB|}{|TB|}$，證明：點T在定直線上．

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9．已知過拋物線E：x2=2py（p＞0）焦點F且傾斜角的60°直線l與拋物線E交于點M，N，△OMN的面積為4．
（Ⅰ）求拋物線E的方程；
（Ⅱ）設(shè)P是直線y=-2上的一個動點，過P作拋物線E的切線，切點分別為A、B，直線AB與直線OP、y軸的交點分別為Q、R，點C、D是以R為圓心、RQ為半徑的圓上任意兩點，求∠CPD最大時點P的坐標(biāo)．

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19．已知圖1中，四邊形 ABCD是等腰梯形，AB∥CD，EF∥CD，DM⊥AB于M、交EF于點N，DN=3$\sqrt{3}$，MN=$\sqrt{3}$，現(xiàn)將梯形ABCD沿EF折起，記折起后C、D為C'、D'且使D'M=2$\sqrt{6}$，如圖2示．
（Ⅰ）證明：D'M⊥平面ABFE；，
（Ⅱ）若圖1中，∠A=60°，求點M到平面AED'的距離．

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6．如圖，平行四邊形ABCD中，BC=2AB=4，∠ABC=60°，PA⊥AD，E，F(xiàn)分別為BC，PE的中點，AF⊥平面PED．
（1）求證：PA⊥平面ABCD；
（2）求直線BF與平面AFD所成角的正弦值．

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3．若數(shù)列{an}為等差數(shù)列，Sn為其前n項和，且a1=2a3-3，則S9=（　　）
A．25B．27C．50D．54

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18．在△ABC中，$|{\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}}|=\sqrt{3}|{\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AC}}|$，$|{\overrightarrow{AB}}|=|{\overrightarrow{AC}}|=3$，則$\overrightarrow{CB}•\overrightarrow{CA}$的值為（　�。�
A．3B．-3C．$-\frac{9}{2}$D．$\frac{9}{2}$

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