Question

對定義域分別是F、G的函數(shù)y=f（x）、y=g（x），規(guī)定：函數(shù)h（x）=

已知函數(shù)f（x）=x²，g（x）=alnx（a∈R）．
（1）求函數(shù)h（x）的解析式；
（2）對于實(shí)數(shù)a，函數(shù)h（x）是否存在最小值，如果存在，求出其最小值；如果不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）先求出兩個函數(shù)各自的定義域，再代入分段函數(shù)的表達(dá)式即可求出函數(shù)h（x）的解析式；
（2）先求出第二段的最小值，再對第一段中的字母a分與0的三種關(guān)系分別討論求出其最小值，再與第二段的最小值相比，最小的那個即為函數(shù)h（x）的最小值．
解答：解：（1）因?yàn)楹瘮?shù)f（x）=x²的定義域F=（-∞，+∞），函數(shù)g（x）=alnx的定義域G=（0，+∞），
所以h（x）=（4分）
（2）當(dāng)x≤0時，函數(shù)h（x）=x²單調(diào)遞減，
所以函數(shù)h（x）在（-∞，0]上的最小值為h（0）=0．（5分）
當(dāng)x＞0時，h（x）=x²+alnx．
若a=0，函數(shù)h（x）=x²在（0，+∞）上單調(diào)遞增．此時，函數(shù)h（x）不存在最小值．（6分）
若a＞0，因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/20131101224324373249393/SYS201311012243243732493021_DA/1.png">，（7分）
所以函數(shù)h（x）=x²+alnx在（0，+∞）上單調(diào)遞增．此時，函數(shù)h（x）不存在最小值．（8分）
若a＜0，因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/20131101224324373249393/SYS201311012243243732493021_DA/2.png">，（9分）
所以函數(shù)h（x）=x²+alnx在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增．此時，函數(shù)h（x）的最小值為．（10分）
因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/20131101224324373249393/SYS201311012243243732493021_DA/6.png">，（11分）
所以當(dāng)-2e≤a＜0時，，當(dāng)a＜-2e時，．（13分）
綜上可知，當(dāng)a＞0時，函數(shù)h（x）沒有最小值；
當(dāng)-2e≤a≤0時，函數(shù)h（x）的最小值為h（0）=0；
當(dāng)a＜-2e時，函數(shù)h（x）的最小值為．（14分）
點(diǎn)評：本題主要考查函數(shù)解析式的求解及常用方法，利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值和分類討論思想在解題中的應(yīng)用，是對知識及思想方法的綜合考查，屬于中檔題．