Question

【題目】已知函數(shù)（）.

（1）若曲線(xiàn)在點(diǎn)處的切線(xiàn)經(jīng)過(guò)點(diǎn)，求的值；

（2）若在區(qū)間上存在極值點(diǎn)，判斷該極值點(diǎn)是極大值點(diǎn)還是極小值點(diǎn)，并求的取值范圍；

（3）若當(dāng)時(shí)， 恒成立，求的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）（2）為極小值點(diǎn). 的取值范圍是（3）

【解析】試題分析：（1）由導(dǎo)數(shù)幾何意義得切線(xiàn)斜率為，再根據(jù)點(diǎn)斜式寫(xiě)出切線(xiàn)方程，最后代入點(diǎn)坐標(biāo)求的值；（2）由題意轉(zhuǎn)化為對(duì)應(yīng)方程在區(qū)間上有解，再利用變量分離法轉(zhuǎn)化為求對(duì)應(yīng)函數(shù)值域，即得的取值范圍；最后根據(jù)符號(hào)變化規(guī)律確定該極值點(diǎn)是極大值點(diǎn)還是極小值點(diǎn)，（3）恒成立問(wèn)題，一般利用變量分離法轉(zhuǎn)化為對(duì)應(yīng)函數(shù)最值： 最大值，再利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)最大值，即得的取值范圍.

試題解析：解：（1）對(duì)求導(dǎo)，得.

因此.又，

所以，曲線(xiàn)在點(diǎn)處的切線(xiàn)方程為.

將， 代入，得.解得.

（2）的定義域?yàn)?/span>.

.

設(shè)的一個(gè)極值點(diǎn)為，則，即.

所以 .

當(dāng)時(shí)， ；當(dāng)時(shí)， .

因此在上為減函數(shù)，在上為增函數(shù).

所以是的唯一的極值點(diǎn)，且為極小值點(diǎn).

由題設(shè)可知.

因?yàn)楹瘮?shù)在上為減函數(shù)，

所以，即.

所以的取值范圍是.

（3）當(dāng)時(shí)， 恒成立，則恒成立，

即對(duì)恒成立.

設(shè)，求導(dǎo)得.

設(shè)（），顯然在上為減函數(shù).

又，則當(dāng)時(shí)， ，從而；

當(dāng)時(shí)， ，從而.

所以在上是增函數(shù)，在上是減函數(shù).

所以，所以，即的取值范圍為.