Question

 

已知橢圓的左、右兩個(gè)頂點(diǎn)分別為、．曲線是以、兩點(diǎn)為頂點(diǎn)，離心率為的雙曲線．設(shè)點(diǎn)在第一象限且在曲線上，直線與橢圓相交于另一點(diǎn)．

（1）求曲線的方程；

（2）設(shè)點(diǎn)、的橫坐標(biāo)分別為、，證明：；

（3）設(shè)與（其中為坐標(biāo)原點(diǎn)）的面積分別為與，且，求 的取值范圍．

 

 

 

 

 

 

 

 

Answer 1

【答案】

 

（本小題主要考查橢圓與雙曲線的方程、直線與圓錐曲線的位置關(guān)系、函數(shù)最值等知識(shí)，考查數(shù)形結(jié)合、化歸與轉(zhuǎn)化、函數(shù)與方程的數(shù)學(xué)思想方法，以及推理論證能力和運(yùn)算求解能力）

（1）解：依題意可得，．…………………………………………………………………1分

設(shè)雙曲線的方程為，

因?yàn)殡p曲線的離心率為，所以，即．

所以雙曲線的方程為．……………………………………………………………………3分

（2）證法1：設(shè)點(diǎn)、（，，），直線的斜率為（），

則直線的方程為，………………………………………………………………………4分

聯(lián)立方程組………………………………………………………………………………5分

整理，得，

解得或．所以．…………………………………………………………6分

同理可得，．…………………………………………………………………………………7分

所以．……………………………………………………………………………………………8分

 

證法2：設(shè)點(diǎn)、（，，），

則，．…………………………………………………………………………4分

因?yàn)?sub>，所以，即．……………………………………5分

因?yàn)辄c(diǎn)和點(diǎn)分別在雙曲線和橢圓上，所以，．

即，．…………………………………………………………………6分

所以，即．……………………………………………………7分

所以．……………………………………………………………………………………………8分

證法3：設(shè)點(diǎn)，直線的方程為，………………………………………4分

聯(lián)立方程組…………………………………………………………………………5分

整理，得，

解得或．…………………………………………………………………6分

將代入，得，即．

所以．…………………………………………………………………………………………8分

（3）解：設(shè)點(diǎn)、（，，），

則，．

因?yàn)?sub>，所以，即．…………………………9分

因?yàn)辄c(diǎn)在雙曲線上，則，所以，即．

因?yàn)辄c(diǎn)是雙曲線在第一象限內(nèi)的一點(diǎn)，所以．…………………………………………10分

因?yàn)?sub>，，

所以．……………………………11分

由（2）知，，即．

設(shè)，則，

．

設(shè)，則，

當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，

所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減．

因?yàn)?sub>，，

所以當(dāng)，即時(shí)，．……………………………………………12分

當(dāng)，即時(shí)，．………………………………………………13分

所以的取值范圍為．……………………………………………………………………14分

 

說(shuō)明：由，得，給1分．