Question

（2013•鹽城三模）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，橢圓C：

x2

m

+

y2

8-m

=1．
（1）若橢圓C的焦點(diǎn)在x軸上，求實(shí)數(shù)m的取值范圍；
（2）若m=6，
①P是橢圓C上的動(dòng)點(diǎn)，M點(diǎn)的坐標(biāo)為（1，0），求PM的最小值及對(duì)應(yīng)的點(diǎn)P的坐標(biāo)；
②過(guò)橢圓C的右焦點(diǎn)F 作與坐標(biāo)軸不垂直的直線(xiàn)，交橢圓C于A，B兩點(diǎn)，線(xiàn)段AB的垂直平分線(xiàn)l交x軸于點(diǎn)N，證明：

AB

FN

 是定值，并求出這個(gè)定值．

Answer 1

分析：（1）由焦點(diǎn)在x軸上得，m＞8-m＞0，解出即可；
（2）①設(shè)點(diǎn)P坐標(biāo)為（x，y），則

x2

6

+

y2

2

=1，由兩點(diǎn)間距離公式可表示出PM²，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)即可求得PM²的最小值，從而得到PM的最小值，注意x的取值范圍；②易求焦點(diǎn)F的坐標(biāo)及右準(zhǔn)線(xiàn)方程，設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），AB的中點(diǎn)H（x₀，y₀），利用平方差法可用H坐標(biāo)表示直線(xiàn)AB的斜率，用點(diǎn)斜式寫(xiě)出AB中垂線(xiàn)方程，從而得點(diǎn)N橫坐標(biāo)，進(jìn)而得到線(xiàn)段FN的長(zhǎng)，由第二定義可表示出線(xiàn)段AB長(zhǎng)，

AB

FN

 是定值可證；

解答：解：（1）由題意得，m＞8-m＞0，解得4＜m＜8，
所以實(shí)數(shù)m的取值范圍是（4，8）；
（2）因?yàn)閙=6，所以橢圓C的方程為

x2

6

+

y2

2

=1，
①設(shè)點(diǎn)P坐標(biāo)為（x，y），則

x2

6

+

y2

2

=1，
因?yàn)辄c(diǎn)M的坐標(biāo)為（1，0），
所以PM²=（x-1）²+y²=x2-2x+1+2-

x2

3

=

2

3

x2-2x+3=

2

3

(x-

3

2

)2+

3

2

，x∈[-

6

，

6

]，
所以當(dāng)x=

3

2

時(shí)，PM的最小值為

6

2

，此時(shí)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)P坐標(biāo)為（

3

2

，±

5

2

）；
②由a²=6，b²=2，得c²=4，即c=2，
從而橢圓C的右焦點(diǎn)F的坐標(biāo)為（2，0），右準(zhǔn)線(xiàn)方程為x=3，離心率e=

6

3

，
設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），AB的中點(diǎn)H（x₀，y₀），
則

x12

6

+

y12

2

=1，

x22

6

+

y22

2

=1，
兩式相減得，

x12-x22

6

+

y12-y22

2

=0，即kAB=

y1-y2

x1-x2

=-

x0

3y0

，
令k=k_AB，則線(xiàn)段AB的垂直平分線(xiàn)l的方程為y-y₀=-

1

k

（x-x₀），
令y=0，則x_N=ky₀+x₀=

2

3

x0，
因?yàn)镕（2，0），所以FN=|x_N-2|=

2

3

|x0-3|，
因?yàn)锳B=AF+BF=e（3-x₁）+e（3-x₂）=

2 6

3

|x₀-3|．
故

AB

FN

=

2 6

3

×

3

2

=

6

，即

AB

FN

為定值

6

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查直線(xiàn)與圓錐曲線(xiàn)的位置關(guān)系、橢圓方程的求解及橢圓的第二定義，考查學(xué)生綜合運(yùn)用知識(shí)分析解決問(wèn)題的能力，屬中檔題．