在△ABC中，a，b，c分別是角A，B，C的對邊，且sin（A-
π6
）=cosA．
（Ⅰ）求角A的大��；
（Ⅱ）當a=6時，求△ABC面積的最大值，并判斷此時△ABC的形狀．
分析：（Ⅰ）將sin（A-
π
6
）=cosA的左端由兩角差的正弦展開，可求得tanA，從而可求角A的大�。�
（Ⅱ）利用余弦定理與三角形的面積公式，再結合基本不等式即可求得a=6時，△ABC面積的最大值及此時△ABC的形狀．
解答：解：（Ⅰ）由已知有sinA•cos
π
6
-cosAsin
π
6
=cosA，…2分
故sinA=
3
cosA，tanA=
3
，…4分
又0＜A＜π，所以A=
π
3
…6分
（Ⅱ）a2=b2+c2-2bccosA，
∴b2+c2-bc=36，
∴bc≤36…9分
故三角形的面積S=
1
2
bcsinA=
3
4
bc≤9
3
．當且僅當b=c時等號成立；…12分
又A=
π
3
，
∴此時△ABC為等邊三角形…13分
點評：本題考查兩角和與差的正弦函數(shù)，考查余弦定理與三角形的面積公式及基本不等式，考查△ABC的形狀判斷，屬于中檔題．
練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

在△ABC中，∠A、∠B、∠C所對的邊長分別是a、b、c．滿足2acosC+ccosA=b．則sinA+sinB的最大值是（　�。�
A、
2
2
B、1
C、
2
D、
1+
2
2

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

在△ABC中，a＜b＜c，B=60°，面積為10
3
cm2，周長為20cm，求此三角形的各邊長．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

在△ABC中，a，b，c分別為角A，B，C的對邊，已知
.
m
=(cos
C
2
，sin
C
2
)，
.
n
=(cos
C
2
，-sin
C
2
)，且
m
•
n
=
1
2
．
（1）求角C；
（2）若a+b=
11
2
，△ABC的面積S=
3
3
2
，求邊c的值．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

在△ABC中，A，B，C為三個內角，若cotA•cotB＞1，則△ABC是（　�。�

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知y=f（x）函數(shù)的圖象是由y=sinx的圖象經(jīng)過如下三步變換得到的：
①將y=sinx的圖象整體向左平移
π
6
個單位；
②將①中的圖象的縱坐標不變，橫坐標縮短為原來的
1
2
；
③將②中的圖象的橫坐標不變，縱坐標伸長為原來的2倍．
（1）求f（x）的周期和對稱軸；
（2）在△ABC中，a，b，c分別是角A，B，C的對邊，且f（C）=2，c=1，ab=2
3
，且a＞b，求a，b的值．

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