Question

7．已知F₁，F(xiàn)₂是橢圓C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）的兩個焦點，P為橢圓C上的一點，且$\overrightarrow{P{F}_{1}}$⊥$\overrightarrow{P{F}_{2}}$，若△PF₁F₂的面積為9，則其短軸長為6．

Answer 1

分析 由已知得|PF₁|+|PF₂|=2a，$|P{F}_{1}{|}^{2}+|P{F}_{2}{|}^{2}$=4c²，$\frac{1}{2}$|PF₁||PF₂|=9，再利用配方結(jié)合橢圓定義求得b的值．

解答 解：∵F₁、F₂是橢圓C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）的兩個焦點，P為橢圓C上一點，且$\overrightarrow{P{F}_{1}}$⊥$\overrightarrow{P{F}_{2}}$，
∴|PF₁|+|PF₂|=2a，$|P{F}_{1}{|}^{2}+|P{F}_{2}{|}^{2}$=4c²，
$\frac{1}{2}$|PF₁||PF₂|=9，
∴（|PF₁|+|PF₂|）²=4c²+2|PF₁||PF₂|=4a²，
∴36=4（a²-c²）=4b²，
∴b=3，則其短軸長為6．
故答案為：6．

點評 本題考查橢圓定義、直角三角形的面積及勾股定理等基礎(chǔ)知識，注意解題方法的積累，屬于中檔題．