Question

在底面邊長(zhǎng)為2，高為1的正四梭柱ABCD=A₁B₁C₁D₁中，E，F(xiàn)分別為BC，C₁D₁的中點(diǎn)．
（1）求異面直線A₁E，CF所成的角；
（2）求平面A₁EF與平面ADD₁A₁所成銳二面角的余弦值．

Answer 1

分析：（1）以D為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，求出各點(diǎn)坐標(biāo)，進(jìn)而求出異面直線A₁E，CF的方向向量，代入向量夾角公式，可得求異面直線A₁E，CF所成的角；
（2）求平面A₁EF與平面ADD₁A₁的法向量，代入向量夾角公式，可得二面角的余弦值．

解答：解：以D為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系
（1）A₁（2，0，1），E（1，2，0），C（0，2，0），F(xiàn)（0，1，1）

A1

E=(-1，2，-1)，

CF

=(0，-1，1)，
設(shè)異面直線A₁E，CF所成的角為θ，則
|

A1E

•

CF

|=|

A1E

|•|

CF

|cosθ，
即3=

6

•

2

•cosθ
解得cosθ=

3

2

解θ=

π

6

，
所以，所求異面直線的夾角為

π

6

（2）

A1F

=(-2，1，0)，設(shè)平面A₁EF的法向量為

m

=(x，y，z)，則

-x+2y-z=0 -2x+y=0

，
令x=1，則平面A₁EF的一個(gè)法向量為

m

=(1，2，3)，
平面ADD₁A₁的一個(gè)法向量為

n

=(0，1，0)，
設(shè)平面A₁EF與平面ADD₁A₁所成銳二面角為α，則
由

m

•

n

|=|

m

|•|

n

|cosα，
即2=

14

•1•cosα
解得：cosα=

14

7

故平面A₁EF與平面ADD₁A₁所成銳二面角的余弦值為

14

7

點(diǎn)評(píng)：本題考查的知識(shí)點(diǎn)是用空間向量求平面間的夾角，用空間向量求直線間的夾角，建立空間坐標(biāo)系，將空間異面直線夾角問(wèn)題及二面角問(wèn)題轉(zhuǎn)化為向量夾角問(wèn)題是解答的關(guān)鍵．