Question

二次函數(shù)y=x²（x＞0）的圖象在點(diǎn)（a_n，a_n²）處的切線與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為a_n+1，n為正整數(shù)，a₁=

1

3

，則S₅=（　　）

• A、

  3

  2

  [1-(

  1

  3

  )5]
• B、

  1

  3

  [1-(

  1

  3

  )5]
• C、

  2

  3

  [1-(

  1

  2

  )5]
• D、

  3

  2

  [1-(

  1

  2

  )5]

Answer 1

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)切線方程,數(shù)列與函數(shù)的綜合

專題：計(jì)算題,導(dǎo)數(shù)的概念及應(yīng)用

分析：求出導(dǎo)數(shù)，求出切線的斜率，由點(diǎn)斜式方程得到切線方程，再令y=0，得到a_n+1=

1

2

a_n，再由等比數(shù)列的求和公式，即可得到S₅．

解答： 解：函數(shù)y=x²（x＞0）的導(dǎo)數(shù)為y′=2x，
則在點(diǎn)（a_n，a_n²）處的切線方程為：y-a_n²=2a_n（x-a_n），
當(dāng)y=0時，解得x=

1

2

a_n，
∴a_n+1=

1

2

a_n，即數(shù)列{a_n}是等比數(shù)列，公比q為

1

2

，
∵a₁=

1

3

，∴S₅=

1 3 (1-( 1 2 )5)

1- 1 2

=

2

3

•[1-(

1

2

)5]．
故選C．

點(diǎn)評：本題考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義，等比數(shù)列的求和公式和應(yīng)用，解題時要靈活地運(yùn)用函數(shù)的切線方程，合理地進(jìn)行等價(jià)轉(zhuǎn)換．