Question

如圖，三棱柱的三視圖，主視圖和側(cè)視圖是全等的矩形，俯視圖是等腰直角三角形，點(diǎn)M是A1B1的中點(diǎn)。

（I）求證：B1C//平面AC1M；

（II）求證：平面AC1M⊥平面AA1B1B．

 

Answer 1

（1）證明見(jiàn)解析；（2）證明見(jiàn)解析.

【解析】

試題分析：（1）由三視圖還原為空間幾何體的實(shí)際形狀時(shí)，要從三視圖綜合考慮，根據(jù)三視圖的規(guī)則，空間幾何體的可見(jiàn)輪廓線(xiàn)在三視圖中為實(shí)線(xiàn)，不可見(jiàn)輪廓線(xiàn)在三視圖中為虛線(xiàn).在還原空間幾何體的實(shí)際形狀時(shí)，一般以正視圖和俯視圖為主，結(jié)合側(cè)視圖進(jìn)行綜合考慮；（2）證明線(xiàn)面平行常用方法：一是利用線(xiàn)面平行的判定定理，二是利用面面平行的性質(zhì)定理，三是利用面面平行的性質(zhì)；（3）證明兩個(gè)平面垂直，首先考慮直線(xiàn)與平面垂直，也可以簡(jiǎn)單記為“證面面垂直，找線(xiàn)面垂直”，是化歸思想的體現(xiàn)，這種思想方法與空間中的平行關(guān)系的證明類(lèi)似，掌握化歸與轉(zhuǎn)化思想方法是解決這類(lèi)題的關(guān)鍵.

試題解析：

證明：（I）由三視圖可知三棱柱為直三棱柱，底面是等腰直角三角形且，

連結(jié)A1C，設(shè)。連結(jié)MO，

由題意可知A1O=CO，A1M=B1M，所以 MO//B1C．

又平面;平面，

所以平面 6分

（II），又為的中點(diǎn)，

平面，平面

又平面 所以平面AC1M⊥平面AA1B1B 12分

考點(diǎn)：(1)直線(xiàn)與平面平行的判定；（2）平面與平面垂直的判定.