Question

(13分) 已知曲線(xiàn)C：的橫坐標(biāo)分別為1和，且a₁=5，數(shù)列{x_n}滿(mǎn)足x_n+1 = tf (x_n – 1) + 1（t > 0且）．設(shè)區(qū)間，當(dāng)時(shí)，曲線(xiàn)C上存在點(diǎn)使得x_n的值與直線(xiàn)AA_n的斜率之半相等．
(1)    證明：是等比數(shù)列；
(2)    當(dāng)對(duì)一切恒成立時(shí)，求t的取值范圍；
(3)    記數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，當(dāng)時(shí)，試比較S_n與n + 7的大小，并證明你的結(jié)論．

Answer 1

(Ⅰ)略   (Ⅱ) 0<t< （Ⅲ）

：(1) ∵由已知得  ∴
由
∴即
∴是首項(xiàng)為2+1為首項(xiàng)，公比為2的等比數(shù)列. ········ 4分
(2) 由(1)得=（2+1）·2^n-1，∴
從而a_n=2x_n－1=1+，由D_n+1D_n，得a_n+1<a_n，即.   
∴0<2t<1，即0<t<9分
(3) 當(dāng)時(shí)，  ∴
不難證明：當(dāng)n≤3時(shí)，2^n-1≤n+1；當(dāng)n≥4時(shí)，2^n-1>n+1.
∴當(dāng)n≤3時(shí)，           
當(dāng)n≥4時(shí)，
綜上所述，對(duì)任意的13分