Question

在正三角形ABC中,E、F、P分別是AB、AC、BC邊上的點(diǎn),且滿足=== (如圖(1)),將△AEF沿EF折起到△EF的位置,使二面角EFB成直二面角,連接B、P(如圖(2)).

(1)求證: E⊥平面BEP;

(2)求直線E與平面BP所成角的大小.

 

Answer 1

【答案】

(1)見解析；(2)直線E與平面BP所成角的大小為.

【解析】

試題分析：(1)為計(jì)算上的便利，不妨設(shè)正三角形ABC的邊長(zhǎng)為3,

利用已知條件首先得到△ADF是正三角形.再推出EF⊥AD,∠EB為二面角EFB的平面角,根據(jù)二面角EFB為直二面角,得到E⊥BE.

又∵BE∩EF=E,∴E⊥平面BEF,即E⊥平面BEP.

(2)建立空間直角坐標(biāo)系,利用“空間向量方法”求角.

試題解析： (1)不妨設(shè)正三角形ABC的邊長(zhǎng)為3,

則在圖(1)中,取BE的中點(diǎn)D,連接DF,

∵===,∴FA=AD=2.又∠A=60°,

則△ADF是正三角形.又AE=ED=1,∴EF⊥AD,

∴在圖(2)中有E⊥EF,BE⊥EF,∴∠EB為二面角EFB的平面角,

∵二面角EFB為直二面角,∴E⊥BE.

又∵BE∩EF=E,∴E⊥平面BEF,即E⊥平面BEP.

(2)由(1)可知E⊥平面BEP,BE⊥EF,建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系,

則E(0,0,0), (0,0,1),B(2,0,0).連接DP,由(1)知EF DP,DE FP,

故點(diǎn)P的坐標(biāo)為(1,,0),

∴=(2,0,-1), =(-1,,0), =(0,0,1),

不妨設(shè)平面的法向量=(x,y,z),

則,

令y=,得=(3,,6),∴cos<, >===,

則直線E與平面BP所成角的正弦值為,故直線E與平面BP所成角的大小為.

考點(diǎn)：直線與平面垂直，二面角的定義，線面角的計(jì)算，空間向量的應(yīng)用.