【題目】分形幾何學(xué)是一門以不規(guī)則幾何形態(tài)為研究對象的幾何學(xué).分形的外表結(jié)構(gòu)極為復(fù)雜,但其內(nèi)部卻是有規(guī)律可尋的.一個數(shù)學(xué)意義上分形的生成是基于一個不斷迭代的方程式,即一種基于遞歸的反饋系統(tǒng).下面我們用分形的方法來得到一系列圖形,如圖1,線段的長度為,在線段上取兩個點,,使得,以為一邊在線段的上方做一個正六邊形,然后去掉線段,得到圖2中的圖形;對圖2中的最上方的線段作相同的操作,得到圖3中的圖形;依此類推,我們就得到了以下一系列圖形:
記第個圖形(圖1為第1個圖形)中的所有線段長的和為,現(xiàn)給出有關(guān)數(shù)列的四個命題:
①數(shù)列是等比數(shù)列;
②數(shù)列是遞增數(shù)列;
③存在最小的正數(shù),使得對任意的正整數(shù),都有;
④存在最大的正數(shù),使得對任意的正整數(shù),都有.
其中真命題的序號是________________(請寫出所有真命題的序號).
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【題目】如圖,在四面體ABCD中,△ABC是等邊三角形,平面ABC⊥平面ABD,點M為棱AB的中點,AB=2,AD=,∠BAD=90°.
(Ⅰ)求證:AD⊥BC;
(Ⅱ)求異面直線BC與MD所成角的余弦值;
(Ⅲ)求直線CD與平面ABD所成角的正弦值.
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【題目】為了調(diào)查某生產(chǎn)線上質(zhì)量監(jiān)督員甲是否在現(xiàn)場對產(chǎn)品質(zhì)量好壞有無影響,現(xiàn)統(tǒng)計數(shù)據(jù)如下:質(zhì)量監(jiān)督員甲在現(xiàn)場時,1 000件產(chǎn)品中合格品有990件,次品有10件,甲不在現(xiàn)場時,500件產(chǎn)品中有合格品490件,次品有10件.
(1)補充下面列聯(lián)表,并初步判斷甲在不在現(xiàn)場與產(chǎn)品質(zhì)量是否有關(guān):
合格品數(shù)/件 | 次品數(shù)/件 | 總數(shù)/件 | |
甲在現(xiàn)場 | 990 | ||
甲不在現(xiàn)場 | 10 | ||
總數(shù)/件 |
(2)用獨立性檢驗的方法判斷能否在犯錯誤的概率不超過0.15的前提下認(rèn)為“甲在不在現(xiàn)場與產(chǎn)品質(zhì)量有關(guān)”?
P(K2≥k) | 0.15 | 0.10 | 0.05 | 0.025 | 0.010 | 0.005 | 0.001 |
K | 2.072 | 2.706 | 3.841 | 5.024 | 6.635 | 7.879 | 10.828 |
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【題目】在直角坐標(biāo)系中,曲線的參數(shù)方程為(為參數(shù)),以坐標(biāo)原點為極點,軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系,點A為曲線上的動點,點B在線段OA的延長線上,且滿足,點B的軌跡為.
(1)求,的極坐標(biāo)方程;
(2)設(shè)點C的極坐標(biāo)為(2,0),求△ABC面積的最小值.
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【題目】現(xiàn)有A,B兩個投資項目,投資兩項目所獲得利潤分別是和(萬元),它們與投入資金(萬元)的關(guān)系依次是:其中與平方根成正比,且當(dāng)為4(萬元)時為1(萬元),又與成正比,當(dāng)為4(萬元)時也是1(萬元);某人甲有3萬元資金投資.
(Ⅰ)分別求出,與的函數(shù)關(guān)系式;
(Ⅱ)請幫甲設(shè)計一個合理的投資方案,使其獲利最大,并求出最大利潤是多少?
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【題目】已知偶函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增,且滿,給出下列判斷:
①;②在上是減函數(shù);③的圖象關(guān)于直線對稱;
④函數(shù)在處取得最大值;⑤函數(shù)沒有最小值
其中判斷正確的序號_______.
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【題目】在直角坐標(biāo)系中,曲線上的點均在曲線外,且對上任意一點,到直線的距離等于該點與曲線上點的距離的最小值.
(1)求動點的軌跡的方程;
(2)過點的直線與曲線交于不同的兩點、,過點的直線與曲線交于另一點,且直線過點,求證:直線過定點.
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【題目】如圖,在四棱錐中,,,,.
(1)求證:;
(2)若,,為的中點.
(i)過點作一直線與平行,在圖中畫出直線并說明理由;
(ii)求平面將三棱錐分成的兩部分體積的比.
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