Question

設(shè)函數(shù)f(x)在(－∞，＋∞)上滿足f(2－x)＝f(2＋x)，f(7－x)＝f(7＋x)，且在閉區(qū)間[0，7]上，只有f(1)＝f(1)＝0．

(1)試判斷函數(shù)y＝f(x)的奇偶性；

(2)試求方程f(x)＝0在閉區(qū)間[－2 005，2 005]上的根的個數(shù)，并證明你的結(jié)論．

Answer 1

答案：
解析：

解：(1)由f(2－x)＝f(2＋x)得函數(shù)y＝f(x)的對稱軸為x＝2，∴f(－1)＝f(5)．而f(5)≠0f(1)≠f(－1)，即f(x)不是偶函數(shù)． 　　又∵f(x)在[0，7]上，只有f(1)＝f(3)＝0， 　　∴f(0)≠0． 　　從而知函數(shù)y＝f(x)不是奇函數(shù)，故函數(shù)y＝f(x)是非奇非偶函數(shù)． 　　 　　故f(x)在[0，10]和[－10，0]上均有2個根，從而可知函數(shù)y＝f(x)在[0，2 000]上有400個根，在[2 000，2 005]上有2個根，在[－2 000，0]上有400個根，在[－2 005，－2 000]上沒有根．∴函數(shù)y＝f(x)在[－2005，2 005]上有802個根．

提示：

本題考查函數(shù)的奇偶性、周期性等函數(shù)性質(zhì)，利用周期性求方程根的個數(shù)，體現(xiàn)了函數(shù)與方程思想．