Question

已知、分別是橢圓C: 的左焦點(diǎn)和右焦點(diǎn),O是坐標(biāo)系原點(diǎn), 且橢圓C的焦距為6, 過(guò)的弦兩端點(diǎn)與所成⊿的周長(zhǎng)是.

（Ⅰ）.求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程.

（Ⅱ） 已知點(diǎn)，是橢圓C上不同的兩點(diǎn)，線(xiàn)段的中點(diǎn)為.

求直線(xiàn)的方程；

（Ⅲ）若線(xiàn)段的垂直平分線(xiàn)與橢圓C交于點(diǎn)、，試問(wèn)四點(diǎn)、、、是否在同一個(gè)圓上，若是，求出該圓的方程；若不是，請(qǐng)說(shuō)明理由.

 

Answer 1

【答案】

（Ⅰ）  解:設(shè)橢圓C: 的焦距為2c,

∵橢圓C: 的焦距為2,   ∴2c=6,即c=3…………1分

又∵、分別是橢圓C: 的左焦點(diǎn)和右焦點(diǎn),且過(guò)的弦AB兩端點(diǎn)A、B與所成⊿AB的周長(zhǎng)是.

∴⊿AB的周長(zhǎng) = AB+(AF₂+BF₂)= (AF₁+BF₁)+ (AF₂+BF₂)=4=

∴                                            …………2分

又∵, ∴∴橢圓C的方程是…………4分

（Ⅱ）解一： 點(diǎn)，是橢圓C上不同的兩點(diǎn)，

∴，.以上兩式相減得：，                             

即，，

∵線(xiàn)段的中點(diǎn)為，∴.                                                            

∴，

當(dāng)，由上式知， 則重合，與已知矛盾，因此，

∴. ∴直線(xiàn)的方程為，即.                    

由 消去，得，解得或.

∴所求直線(xiàn)的方程為.     ………………8分

 解二: 當(dāng)直線(xiàn)的不存在時(shí), 的中點(diǎn)在軸上, 不符合題意.

     故可設(shè)直線(xiàn)的方程為, .           

  由 消去，得   (*)

.               的中點(diǎn)為,

..解得.                                                            

此時(shí)方程(*)為,其判別式.∴直線(xiàn)的方程為.                                     

（Ⅲ）由于直線(xiàn)的方程為，

則線(xiàn)段的垂直平分線(xiàn)的方程為，即.        

由  得，                               

由消去得，設(shè)

則.

∴線(xiàn)段的中點(diǎn)G的橫坐標(biāo)為，縱坐標(biāo).

∴.                                             

∴.

∵，

，                    

∴四點(diǎn)、、、在同一個(gè)圓上，此圓的圓心為點(diǎn)G，半徑為，

其方程為.          …………14分    

【解析】略