Question

若A，B是雙曲線(xiàn)8x²-y²=8的兩焦點(diǎn)，點(diǎn)C在該雙曲線(xiàn)上，且△ABC是等腰三角形，則△ABC的周長(zhǎng)為

16或20

．

Answer 1

分析：首先將方程轉(zhuǎn)化成標(biāo)準(zhǔn)方程，然后求出焦點(diǎn)坐標(biāo)，△ABC為等腰三角形有三種情況：AC=BC，AB=AC，AB=BC，當(dāng)AC=BC時(shí)，這在雙曲線(xiàn)中是不可能的，當(dāng)AB=AC時(shí)，根據(jù)雙曲線(xiàn)定義得出|AC-BC|=2a，求出BC的長(zhǎng)，即可求出周長(zhǎng)；當(dāng)AB=BC時(shí)，根據(jù)對(duì)稱(chēng)性，求出結(jié)果．

解答：解：8x²-y²=8化為標(biāo)準(zhǔn)方程：x²-

y2

8

=1，則c²=1+8=9，即c=3，
所以焦點(diǎn)A（-3，0），B（3，0）；
△ABC為等腰三角形有三種情況：AC=BC，AB=AC，AB=BC；
（1）AC=BC，這在雙曲線(xiàn)中是不可能的，因?yàn)殡p曲線(xiàn)滿(mǎn)足|AC-BC|=2a，
              顯然AC不可能等于BC；
（2）AB=AC，因?yàn)锳B=6，所以AC=6，由第一定義：|AC-BC|=2a=2，得BC=8或4
                       所以周長(zhǎng)為16或20；
（3）AB=BC，根據(jù)對(duì)稱(chēng)性，結(jié)果同（2）；
所以，△ABC的周長(zhǎng)為16或20
故答案為：16或20．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了雙曲線(xiàn)的簡(jiǎn)單性質(zhì)，靈活運(yùn)用雙曲線(xiàn)的定義是解題的關(guān)鍵，屬于中檔題．