Question

14．已知函數(shù)f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0，0≤φ≤π）為偶函數(shù)，其圖象上相鄰的兩個最高點之間的距離為2π；
（I）求f（x）的解析式；
（2）把函數(shù)f（2x+$\frac{π}{3}$）的圖象向左平移m（m＞0）個單位使所得函數(shù)的圖象關干點（$\frac{π}{6}$，0）對稱，求m的最小值．

Answer 1

分析 （1）由圖象上相鄰的兩個最高點之間的距離為2π．可得周期，從而得到ω=1，再由函數(shù)f（x）為偶函數(shù)，得到φ=$\frac{π}{2}$，從而得到函數(shù)式；
（2）根據(jù)函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的圖象變換和三角函數(shù)的對稱性即可得解．

解答 解：（1）由圖象上相鄰的兩個最高點之間的距離為2π．
即有T=2π，ω=$\frac{2π}{T}$=1，
由函數(shù)f（x）=sin（ωx+Φ）（ω＞0，0≤φ≤π）為偶函數(shù)，
則φ=kπ+$\frac{π}{2}$，k為整數(shù)，由0≤φ≤π，則φ=$\frac{π}{2}$，
則f（x）=sin（x+$\frac{π}{2}$）=cosx；
（2）由（1）可得：f（x）=cosx，從而可得：f（2x+$\frac{π}{3}$）=cos（2x+$\frac{π}{3}$），
把函數(shù)f（2x+$\frac{π}{3}$）的圖象向左平移m（m＞0）個單位，所得圖象對應的解析式為：y=cos[2（x+m）+$\frac{π}{3}$]=cos（2x+2m+$\frac{π}{3}$），
又所得函數(shù)的圖象關干點（$\frac{π}{6}$，0）對稱，
可得：2×$\frac{π}{6}$+2m+$\frac{π}{3}$=kπ+$\frac{π}{2}$，k∈Z，
解得：m=$\frac{kπ}{2}$-$\frac{π}{12}$，k∈Z，
由于：m＞0，
所以：當k=1時，m的最小值為$\frac{5π}{12}$．

點評 本題考查三角函數(shù)的圖象和性質，考查三角恒等變換公式的運用，考查函數(shù)的奇偶性和周期性及運用，考查數(shù)形結合思想和化簡計算能力，屬于中檔題．