(1)求證:EC∥平面APD;
(2)求BP與平面ABCD所成角的正切值;
(3)求二面角PABD的大小.
(文)如圖,在三棱錐P—ABC中,PA⊥AB,PA⊥AC,AB⊥AC,PA=AC=2,AB=1,M為PC的中點.
(1)求證:平面PCB⊥平面MAB;
(2)求點A到平面PBC的距離;
(3)求二面角CPBA的正切值.
答案:(理)解法一:(1)如圖,取PA中點F,連結EF、FD,
∵E是BP的中點,∴EF∥AB且EF=AB.又∵DC∥AB,DC=
AB,∴EF∥CD且EF=CD.
∴四邊形EFDC是平行四邊形,故得EC∥FD.
又∵EC平面PAD,FD
平面PAD,∴EC∥平面ADP.
(2)取AD中點H,連結PH,BH,因為PA=PD,所以PH⊥AD.∵平面PAD⊥平面ABCD,∴PH⊥平面ABCD,∴HB是PB在平面ABCD內(nèi)的射影.∴∠PBH是PB與平面ABCD所成角.
由已知∠ABC=∠BCD=90°,∴四邊形ABCD是直角梯形.
DC=CB=AB.設AB=2a,則BD=
a,在△ADB中,易得∠DBA=45°,∴AD=
a.
PH=.又∵BD2+AD2=4a2=AB2,∴△ABD是等腰直角三角形,∠ADB=90°.∴HB=
.
∴在Rt△PHB中,tan∠PBH=.
(3)在平面ABCD內(nèi)過點H作AB的垂線交AB于G點,連結PG,則HG是PG在平面ABCD內(nèi)的射影,故PG⊥AB,所以∠PGH是二面角PABD的平面角,由AB=2a,
HA=a,又∠HAB=45°,∴HG=
a.在Rt△PHG中,tan∠PGH=
.
∴二面角PABD的大小為arctan.
解法二:(1)同解法一.
(2)設AB=2a,同解法一中的(2)可得∠ADB=90°.如圖,以D點為原點,DA所在直線為x軸,DB所在直線為y軸,過D點且垂直于平面ABCD的直線為z軸建立空間直角坐標系.
則B(0,a,0),P(
a,0,
a),則PB=(-
a,
a,-
a),
平面ABCD的一個法向量為m=(0,0,1).
所以cos〈,m〉=
,
可得PB與平面ABCD所成角的正弦值為.
所以PB與平面ABCD所成角的正切值為.
(3)易知A(a,0,0),則
=(
,0),設平面PAB的一個法向量為n=(x0,y0,z0),
則
令x0=1,可得n=(1,1,1),
得cos〈m,n〉=,所以二面角PABD的大小為arccos
.
(文)方法一:(1)∵PA⊥AB,AB⊥AC,
∴AB⊥平面PAC.故AB⊥PC.∵PA=AC=2,M為PC的中點,∴MA⊥PC.
∴PC⊥平面MAB.又PC平面PCB.所以平面PCB⊥平面MAB.
(2)如圖,在平面MAB中作AE⊥MB,垂足是E,∵平面PCB⊥平面MAB,平面PCB∩平面MAB=MB,∴AE⊥平面PBC.∴AE的長為點A到平面PBC的距離.又∵AB⊥平面PAC,∴AB⊥AM.∴在Rt△ABM中,AB=1,AM=,MB=
.
∴AE·MB=AB·AM.∴AE=即為所求.
(3)在平面PAB中作AF⊥PB,垂足是F,連接CF,∵PA⊥AC,AB⊥AC,∴AC⊥平面PAB.則AC⊥AF,且AF是CF在平面PAB內(nèi)的射影,∴CF⊥PB(三垂線定理).∴∠AFC是二面角CPBA的平面角,
在Rt△PAB中,PA=2,AB=1,PB=,可得AF=
,
∴在Rt△AFC中,tan∠AFC=即為所求.
方法二:(1)同方法一.
(2)以A為原點,建立如圖的空間直角坐標系,由已知可得各點坐標為
A(0,0,0),B(0,1,0),C(2,0,0),P(0,0,2),M(1,0,1).
設平面PBC的法向量為n=(x,y,z),且=(0,1,-2),
=(2,0,-2).
∴n·=y-2z=0,n·
=2x-2z=0.∴x=z,y=2z.令z=1,可得x=1,y=2,∴n=(1,2,1).
又=(0,1,0),∴點A到平面PBC的距離d=
.
(3)∵PA⊥AC,AB⊥AC,∴AC⊥平面PAB.∴平面PAB的法向量為=(2,0,0),
設二面角CPBA的大小為θ,∴cosθ=.故tanθ=5即為所求.
科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
(09年臨沭縣模塊考試理)(12分)
如圖,在四棱錐S―ABCD中,底面ABCD是邊長為1的菱形,∠ABC=,SA⊥底面
ABCD,SA=2,M 的為SA的中點,N在線段BC上。
(Ⅰ)當為何值時,MN∥平面SCD;(說明理由)。
(Ⅱ)求MD和平面SCD所成角的正弦值。
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
(08年西工大附中理)如圖,在四棱錐中,底面
是一直角梯形,
,
,
,
,且
平面
,
與底面成
角.
(Ⅰ) 求證:平面平面
;
(Ⅱ) 求二面角的大�。�
(Ⅲ) 若,
為垂足,求異面直線
與
所成角的大�。�
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
(06年重慶卷理)(13分)
如圖,在四棱錐中,
底面ABCD,
為直角,
,
E、F分別為
、
中點。
(I)試證:平面
;
(II)高,且二面角
的平面角大小
,求
的取值范圍。
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
(08年重點中學模擬理) (12分)如圖,在四棱錐P―ABCD中,PA⊥平面ABCD,四邊形ABCD為直角梯形,AD//BC且AD>BC,∠DAB=∠ABC=90°,PA=,AB=BC=1。M為PC的中點。
(1)求二面角M―AD―C的大小;
(2)如果∠AMD=90°,求線段AD的長。
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
(04年天津卷理)(12分)
如圖,在四棱錐中,底面ABCD是正方形,側棱
底面ABCD,
,E是PC的中點,作
交PB于點F。
(I)證明 平面
;
(II)證明平面EFD;
(III)求二面角的大小。
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