Question

已知點(diǎn)P在正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁的對(duì)角線BD₁上，∠PDA=60°．則DP與CC₁所成角的大小是

 

．

Answer 1

分析：設(shè)正方體的棱長等于1，建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系．連接BD、B₁D₁，在平面BB₁D₁D中延長DP，交B₁D₁于H．由題意得＜

DH

，

DA

＞=60°，設(shè)

DH

=（m，m，1），結(jié)合

DA

=（1，0，0）利用向量數(shù)量積公式建立關(guān)于m的方程解出m=

2

2

，得出

DH

的坐標(biāo)，最后由向量的夾角公式算出cos＜

DH

，

CC1

＞=

2

2

，即得DP與CC₁所成的角大�。�

解答：解：設(shè)正方體的棱長等于1，分別以DA、DC、DD₁為x軸、y軸、z軸，建立空間直角坐標(biāo)系如圖所示，
則

DA

=（1，0，0），

CC1

=（0，0，1）．
連接BD、B₁D₁，在平面BB₁D₁D中，延長DP交B₁D₁于H．
設(shè)

DH

=（m，m，1），由∠PDA=60°可得＜

DH

，

DA

＞=60°，
∴

DH

•

DA

=|

DH

|•|

DA

|cos60°=

1

2

|

DH

|•|

DA

|
可得2m=

2m2+1

，解之得m=

2

2

，所以

DH

=（

2

2

，

2

2

，1），
∵cos＜

DH

，

CC1

＞=

DH • CC′

|DH| • |CC′|

=

2 2 ×0+ 2 2 ×0+1×1

1 2 + 1 2 +1 •1

=

2

2

，
∴＜

DH

，

CC1

＞=45°，即DP與CC₁所成的角為45°．
故答案為：45°

點(diǎn)評(píng)：本題在正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中已知對(duì)角線上的點(diǎn)P滿足的條件，求DP與CC₁所成的角大�。�著重考查了正方體的性質(zhì)和利用空間向量研究異面直線所成角大小的知識(shí)，屬于中檔題．