Question

已知二次函數滿足條件：

①；②的最小值為。

（1）求函數的解析式；

（2）設數列的前項積為，且，求數列的通項公式；

（3）在（2）的條件下，若是與的等差中項，試問數列中第幾項的值最小？求出這個最小值。

 

Answer 1

【答案】

(Ⅰ) .  (Ⅱ) .   

(3) 即數列中最小, 且. 

【解析】題考查了二次函數的解析式的求解，以及數列的遞推關系，數列的求和問題，屬于中檔題，同時也考查了學生的計算能力．

（1）函數的待定系數法，以及函數在處取得最值的方法，求得待定系數，確定函數解析式；（2）類比之間的關系，，數列的前項積為則，從而求解；

（3）需判斷的單調性，考察分類討論思想。

解: (Ⅰ)題知:  , 解得 ,

故.        ……3分

(Ⅱ) ,  ,

,   又滿足上式.   所以.

 (3) 若是與的等差中項, 則, 

從而,    得.     ……9分

因為是的減函數, 所以

當, 即時, 隨的增大而減小, 此時最小值為;

當, 即時, 隨的增大而增大, 此時最小值為.   ……13分

又, 所以,

即數列中最小, 且.