Question

已知正數(shù)數(shù)列的前項(xiàng)和為，且（），

數(shù)列滿足

（1）分別求和

（2）設(shè)，數(shù)列的前項(xiàng)和為，當(dāng)時(shí)，求證：

（3）是否存在正整數(shù)，使得時(shí)，恒成立？若存在，求出相應(yīng)的值，若不存在，請(qǐng)說明理由

Answer 1

（1）當(dāng)時(shí)，由已知得：，

當(dāng)時(shí)， 

                     

兩式相減得： 

   

所以

從而

即                                     ……………… 5分

（2）由（1）知

所以

因 

所以 

所以，由錯(cuò)位相減法得：

  

           

當(dāng)時(shí)，

當(dāng)時(shí)，

當(dāng)時(shí)，

即當(dāng)時(shí)， 

所以當(dāng)時(shí)，

即                                   ……………… 11分

（3）假設(shè)存在正整數(shù)，使得時(shí)，恒成立，即恒成立

  當(dāng)時(shí)，解得，即當(dāng)時(shí)，只要，恒有恒成立

  但當(dāng)時(shí)，解得，此時(shí)，不存在滿足條件的

綜上，故滿足條件的不存在                    ……………… 14分