Question

（2012•黃州區(qū)模擬）設平面內兩定點F₁（-

5

，0），F₂（

5

，0），直線PF₁和PF₂相交于點P，且它們的斜率之積為定值-

4

5

．
（Ⅰ）求動點P的軌跡C₁的方程；
（Ⅱ）設M（0，

1

5

），N為拋物線C₂：y=x²上的一動點，過點N作拋物線C₂的切線交曲線C₁于P、Q兩點，求△MPQ面積的最大值．

Answer 1

分析：（1）設點P（x，y），依題意則有

y

x+ 5

•

y

x- 5

=-

4

5

，(x≠±

5

)，由此能求出動點P的軌跡C₁的方程．
（2）設N（t，t²），則PQ的方程為：y-t²=2t（x-t），聯(lián)立方程組

y=2tx-t2 x2 5 + y2 4 =1

，利用根的判別式和韋達定理，結合題設條件能求出△MPQ面積的最大值．

解答：解：（1）設點P（x，y），
依題意則有

y

x+ 5

•

y

x- 5

=-

4

5

，(x≠±

5

)，
整理得動點P的軌跡C₁的方程：

x2

5

+

y2

4

=1，（x≠±

5

）．…（4分）
（2）設N（t，t²），則PQ的方程為：y-t²=2t（x-t），
∴y=2tx-t²，聯(lián)立方程組

y=2tx-t2 x2 5 + y2 4 =1

，
消去y整理得：，有

△=80(4+20t2-t4)＞0 x1+x2= 20t3 4+20t2 x1x2= 5t4-20 4+20t2

，…（8分）
而|PQ|=

1+4t2

×|x1-x2|
=

1+4t2

×

80(4+20t2-t4)

4+20t2

，
dPQ=

1 5 +t2

1+4t2

，…（11分）
由S△MPQ=

1

2

|PQ|dPQ代入化簡得：
即S△MPQ=

5

10

-(t2-10)2+104

＜

5

10

•

104

=

130

5

，
當且僅當t²=10時，取到最大值．…（13分）

點評：本題考查軌跡方程的求法，考查三角形面積的最大值的求法，解題時要認真審題，仔細解答，注意根的判別式、韋達定理和點到直線的距離公式的靈活運用．