Question

1．已知拋物線C：y²=2px（p＞0）的焦點F和橢圓$\frac{x^2}{4}$+$\frac{y^2}{3}$=1的右焦點重合，直線l過點F交拋物線于A、B兩點．
（1）求拋物線C的過程；
（2）若直線l交y軸于點M，且$\overrightarrow{MA}$=m$\overrightarrow{AF}$，$\overrightarrow{MB}$=n$\overrightarrow{BF}$，對任意的直線l，m+n是否為定值？若是，求出m+n的值；否則，說明理由．

Answer 1

分析 （1）由橢圓由焦點坐標F（1，0），即$\frac{p}{2}$=1，即可求得拋物線C的過程；
（2）將直線方程代入橢圓方程，由△＞0，根據(jù)韋達定理可知x₁+x₂=$\frac{2{k}^{2}+4}{{k}^{2}}$，x₁•x₂=1，根據(jù)向量的坐標表示$\overrightarrow{MA}$=m$\overrightarrow{AF}$，$\overrightarrow{MB}$=n$\overrightarrow{BF}$，即可求得m=$\frac{{x}_{1}}{1-{x}_{1}}$，n=$\frac{{x}_{2}}{1-{x}_{2}}$，代入即可求得m+n=-1．

解答 解：（1）橢圓的$\frac{x^2}{4}$+$\frac{y^2}{3}$=1右焦點F（1，0），
∴$\frac{p}{2}$=1，p=2，
∴拋物線C的方程y²=4x；
（2）由已知可得：直線l的斜率一定存在，
∴設(shè)l：y=k（x-1），l與y軸交于M（0，-k），
設(shè)直線l與拋物線交于A（x₁，y₁）B（x₂，y₂），
由$\left\{\begin{array}{l}{y=k（x-1）}\\{{y}^{2}=4x}\end{array}\right.$，則k²x²-2（k²+2）+k²=0，
△=4（k²+2）²-4k⁴=16（k²+1）＞0，
∴x₁+x₂=$\frac{2{k}^{2}+4}{{k}^{2}}$，x₁•x₂=1，
$\overrightarrow{MA}$=m$\overrightarrow{AF}$，
∴（x₁，y₁+k）=m（1-x₁，-y₁），
x₁=m（1-x₁）
即m=$\frac{{x}_{1}}{1-{x}_{1}}$，同理n=$\frac{{x}_{2}}{1-{x}_{2}}$，
m+n=$\frac{{x}_{1}}{1-{x}_{1}}$+$\frac{{x}_{2}}{1-{x}_{2}}$=$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}-2{x}_{1}{x}_{2}}{1-（{x}_{1}+{x}_{2}）+{x}_{1}•{x}_{2}}$=-1，
故對任意的直線l：m+n的值-1．

點評 本題考查拋物線的標準方程及其簡單性質(zhì)，考查直線與拋物線的位置關(guān)系，韋達定理的應用，考查計算能力，屬于中檔題．