已知直線l的方程為x=-2,且直線l與x軸交于點M,圓O:x2+y2=1 與x軸交于A,B兩點.
(1)求以l為準線,中心在原點,且與圓O恰有兩個公共點的橢圓方程;
(2)過M點作直線l1與圓相切于點N,設(shè)(2)中橢圓的兩個焦點分別為F1F2,求三角形△NF1F2面積.
解:(1)設(shè)橢圓方程為
,半焦距為c,則
∵橢圓與圓O恰有兩個不同的公共點,根據(jù)橢圓與圓的對稱性,
則a=1或b=1
當(dāng)a=1時,c=
,b
2=a
2-c
2=
,
∴所求橢圓方程為
;
當(dāng)b=1時,b
2+c
2=2c,∴c=1,∴a
2=b
2+c
2=2
∴所求橢圓方程為
;
(2)設(shè)切點為N,則由題意得,在Rt△MON中,MO=2,ON=1,則∠NMO=30°,
N點的坐標為
,
若橢圓為
,其焦點F
1,F(xiàn)
2分別為A(-1,0),B(1,0),
故
=
,
若橢圓為
,其焦點為
,
此時
=
.
分析:(1)由題意設(shè)出焦點在x軸上的橢圓的標準方程,根據(jù)橢圓經(jīng)過y軸上的點(0,1),分長半軸等于1和短半軸等于1兩種情況求解橢圓的標準方程;
(2)由平面幾何知識求出點N的坐標,求出兩個橢圓的焦點坐標,直接利用三角形的面積公式求三角形△NF
1F
2面積.
點評:本題考查了橢圓的簡單幾何性質(zhì),考查了圓與圓錐曲線的綜合,考查了分類討論的數(shù)學(xué)思想方法,屬中檔題.