15．△ABC滿足$\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{AC}=2\sqrt{3}，∠BAC={30°}$，設(shè)M為△ABC內(nèi)一點（不在邊界上），記x、y、z分別表示△MBC、△MAC、△MAB的面積，若z=$\frac{1}{2}，則\frac{1}{x}+\frac{4}{y}$最小值為（　�。�
A．9B．8C．18D．16

分析 如圖所示，△ABC滿足$\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{AC}=2\sqrt{3}，∠BAC={30°}$，可得cbcos30°=2$\sqrt{3}$，解得bc=4．可得S△ABC=$\frac{1}{2}$bcsin30°=1，可得x+y=$\frac{1}{2}$．（x，y＞0）．再利用“乘1法”與基本不等式的性質(zhì)即可得出．

解答 解：如圖所示，
∵△ABC滿足$\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{AC}=2\sqrt{3}，∠BAC={30°}$，
∴cbcos30°=2$\sqrt{3}$，解得bc=4．
∴S△ABC=$\frac{1}{2}$bcsin30°=$\frac{1}{2}×4×\frac{1}{2}$=1，
∴x+y+$\frac{1}{2}$=1，解得x+y=$\frac{1}{2}$．（x，y＞0）．
∴$\frac{1}{x}+\frac{4}{y}$=2（x+y）$（\frac{1}{x}+\frac{4}{y}）$=$2（5+\frac{y}{x}+\frac{4x}{y}）$≥$2（5+2\sqrt{\frac{y}{x}•\frac{4x}{y}}）$=18，當(dāng)且僅當(dāng)y=2x=$\frac{1}{3}$時取等號．
故選：C．

點評 本題考查了數(shù)量積運算性質(zhì)、“乘1法”與基本不等式的性質(zhì)，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．

練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：選擇題

5．下列說法中正確的是（　�。�
A．命題“?x∈R．ex＞0”的否定是“?x∈R，ex＞0”
B．命題“若a=-1，則函數(shù)f（x）=ax2+2x-1只有一個零點”的逆命題是真命題
C．“x2+2x≥ax在x∈[1，2]上恒成立”?“對于x∈[1，2]有（x2+2x）min≥（ax）max”
D．命題“已知x，y∈R，若x+y≠3，則x≠2或y≠1”是真命題

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：選擇題

6．若角θ是第四象限的角，則角${-^{\;}}\frac{θ}{2}$是（　　）
A．第一、三象限角B．第二、四象限角C．第二、三象限角D．第一、四象限角

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：填空題

3．在矩形ABCD中，AB=2，AD=1，點P為矩形ABCD內(nèi)一點，則使得$\overrightarrow{AP}$•$\overrightarrow{AC}$≥1的概率為$\frac{7}{8}$．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

10．已知函數(shù)$f（x）=Msin（ωx+φ）（M＞0，|φ|＜\frac{π}{2}）$的部分圖象如圖所示．
（1）求函數(shù)f（x）的解析式；
（2）在△ABC中，角A，B，C的對邊分別是a，b，c，若（2a-c）cosB=bcosC，求$f（\frac{A}{2}）$的取值范圍．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：選擇題

20．下列說法中正確的是（　　）
A．經(jīng)過不同的三點有且只有一個平面
B．沒有公共點的兩條直線一定平行
C．垂直于同一平面的兩直線是平行直線
D．垂直于同一平面的兩平面是平行平面

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：填空題

7．給出下列四個命題：
①函數(shù)$f（x）=1-2{sin^2}\frac{x}{2}$的最小正周期為2π；
②“三個數(shù)a，b，c成等比數(shù)列”是“b=$\sqrt{ac}$”的充要條件．
③命題p：?x∈R，tanx=1；命題q：?x∈R，x2-x+1＞0，則命題“p∧（￢q）”是假命題；
④函數(shù)f（x）=x3-3x2+1在點（1，f（1））處的切線方程為3x+y-2=0．
其中正確命題的序號是①③④．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

4．已知函數(shù)f（x）=x2+2alnx，a∈R．
（Ⅰ）若f（x）在x=1處取得極值，求實數(shù)a的值；
（Ⅱ）若不等式f（x）＞0對任意x∈[1，+∞）恒成立，求實數(shù)a的取值范圍．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

5．在△ABC中，已知A（0，2），B（2，0），C（-2，-1）
（1）求BC邊上的高AH所在的直線方程；
（2）求△ABC的面積．

查看答案和解析>>

同步練習(xí)冊答案