Question

17．已知函數(shù)f（x）=$\frac{x-2}{x+2}$e^x．
（Ⅰ）確定函數(shù)f（x）的單調(diào)性；
（Ⅱ）證明：函數(shù)g（x）=$\frac{2{e}^{x}-x-1}{2{x}^{2}}$在（0，+∞）上存在最小值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間即可；
（Ⅱ）求出函數(shù)g（x）的導(dǎo)數(shù)，得到g（x）在（0，x₀）上遞減，在（x₀，+∞）上遞增，x₀∈（0，2），求出函數(shù)的最小值，從而證明結(jié)論即可．

解答 解：（Ⅰ）函數(shù)f（x）的定義域?yàn)椋?∞，-2）∪（-2，+∞），---------------------------------------（1分）
$f'（x）=\frac{{[{e^x}+（x-2）{e^x}]（x+2）-（x-2）{e^x}}}{{{{（x+2）}^2}}}=\frac{{{x^2}{e^x}}}{{{{（x+2）}^2}}}$≥0，---------------------------------------（4分）
∴函數(shù)f（x）在（-∞，-2）和（-2，+∞）上單調(diào)遞增；------------------------------------------------------（5分）
（Ⅱ）$g'（x）=\frac{{2（2{e^x}-1）{x^2}-4x（2{e^x}-x-1）}}{{4{x^4}}}=\frac{{2（x-2）{e^x}+x+2}}{{2{x^3}}}=\frac{{[\frac{{（x-2）{e^x}}}{x+2}+\frac{1}{2}]（x+2）}}{x^3}$=$\frac{（x+2）}{x^3}[f（x）+\frac{1}{2}]$，---------------（8分）
由（Ⅰ）知f（x）在（0，+∞）單調(diào)遞增；
∴$f（x）+\frac{1}{2}$在（0，+∞）上也單調(diào)遞增；
∵$f（0）+\frac{1}{2}=-\frac{1}{2}＜0$，$f（2）+\frac{1}{2}=\frac{1}{2}＞0$，----------------------------------------------------------（10分）
∴存在x₀∈（0，2），有$f（{x_0}）+\frac{1}{2}=0$，
當(dāng)x∈（0，x₀）時(shí)，$f（x）+\frac{1}{2}$＜0，得g'（x）＜0，
當(dāng)x∈（x₀，+∞）時(shí)，$f（x）+\frac{1}{2}$＞0，得g'（x）＞0，---------------------------------------------------（11分）
∴g（x）在（0，x₀）上遞減，在（x₀，+∞）上遞增，
故函數(shù)g（x）在（0，+∞）上存在最小值，g（x）_min=g（x₀）．--------------------------------------------（12分）

點(diǎn)評(píng) 本題考查了函數(shù)的單調(diào)性、最值問(wèn)題，考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，是一道中檔題．