Question

7．設(shè)f（x）=|lnx|，若函數(shù)g（x）=f（x）-ax在區(qū)間（0，4）上有三個(gè)零點(diǎn)．則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（$\frac{ln2}{2}$，$\frac{1}{e}$）．

Answer 1

分析 方法一：g（x）=f（x）-ax在區(qū)間（0，4）上有三個(gè)零點(diǎn)可化為|lnx|-ax=0在區(qū)間（0，4）上有三個(gè)不同的解，令令a=$\frac{|lnx|}{x}$=$\left\{\begin{array}{l}{-\frac{lnx}{x}，0＜x＜1}\\{\frac{lnx}{x}，1≤x＜4}\end{array}\right.$；討論函數(shù)的取值即可，
方法二：首先，畫(huà)出函數(shù)y=|lnx|的圖象，然后，借助于圖象，結(jié)合在區(qū)間（0，4）上有三個(gè)零點(diǎn)，進(jìn)行判斷

解答 解：方法一：∵g（x）=f（x）-ax在區(qū)間（0，4）上有三個(gè)零點(diǎn)，
∴|lnx|-ax=0在區(qū)間（0，4）上有三個(gè)不同的解，
令a=$\frac{|lnx|}{x}$=$\left\{\begin{array}{l}{-\frac{lnx}{x}，0＜x＜1}\\{\frac{lnx}{x}，1≤x＜4}\end{array}\right.$；
則當(dāng)0＜x＜1時(shí)，-$\frac{lnx}{x}$的值域?yàn)椋?，+∞）；
當(dāng)1≤x＜4時(shí)，a=$\frac{lnx}{x}$在[1，e]上是增函數(shù)，
0≤$\frac{lnx}{x}$≤$\frac{1}{e}$，
在[e，4）上是減函數(shù)，
$\frac{ln2}{2}$≤$\frac{lnx}{x}$≤$\frac{1}{e}$；
故當(dāng)a∈（$\frac{ln2}{2}$，$\frac{1}{e}$）時(shí)，有三個(gè)不同的解．
方法二：函數(shù)y=|lnx|的圖象如圖示
當(dāng)a≤0時(shí)，顯然，不合乎題意，
當(dāng)a＞0時(shí)，如圖示
當(dāng)x∈（0，1]時(shí)，存在一個(gè)零點(diǎn)，
當(dāng)x＞1時(shí)，f（x）=lnx，
可得g（x）=lnx-ax，（x∈（1，3]）
g′（x）=$\frac{1}{x}$-a=$\frac{1-ax}{x}$，
若g′（x）＜0，可得x＞$\frac{1}{a}$，g（x）為減函數(shù)，
若g′（x）＞0，可得x＜$\frac{1}{a}$，g（x）為增函數(shù)，
此時(shí)f（x）必須在（1，4）上有兩個(gè)交點(diǎn)，
∴$\left\{\begin{array}{l}{g（\frac{1}{a}）＞0}\\{g（4）＜0}\\{g（1）≤0}\end{array}\right.$，
解得，$\frac{ln2}{2}$≤a＜$\frac{1}{e}$，
在區(qū)間（0，3]上有三個(gè)零點(diǎn)時(shí)，
故實(shí)數(shù)a的取值范圍為（$\frac{ln2}{2}$，$\frac{1}{e}$），
故答案為：（$\frac{ln2}{2}$，$\frac{1}{e}$）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了函數(shù)的零點(diǎn)與方程的根及函數(shù)的取值的關(guān)系應(yīng)用，屬于中檔題．