Question

【題目】已知函數(shù)， .

（1）討論的單調(diào)性；

（2）當(dāng)時(shí)，令，其導(dǎo)函數(shù)為，設(shè)是函數(shù)的兩個(gè)零點(diǎn)，判斷是否為的零點(diǎn)？并說明理由.

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）見解析

【解析】試題分析：（1）先求函數(shù)導(dǎo)數(shù)，根據(jù)a的范圍討論導(dǎo)函數(shù)在定義區(qū)間上零點(diǎn)，根據(jù)導(dǎo)函數(shù)零點(diǎn)情況確定函數(shù)極值，（2）根據(jù)零點(diǎn)解得，代入得. 構(gòu)造函數(shù)，其中，最后根據(jù)導(dǎo)數(shù)確定函數(shù)單調(diào)性，根據(jù)單調(diào)性確定函數(shù)無零點(diǎn).

試題解析：（1）依題意知函數(shù)的定義域?yàn)?/span>，且.

①當(dāng)時(shí)， ，所以在上單調(diào)遞增.

②當(dāng)時(shí)，由得： ，

則當(dāng)時(shí)；當(dāng)時(shí).

所以在單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.

（2）不是導(dǎo)函數(shù)的零點(diǎn).

證明如下：由（Ⅰ）知函數(shù).

∵， 是函數(shù)的兩個(gè)零點(diǎn)，不妨設(shè)，

∴，兩式相減得：

即：

又.

則

.

設(shè)，∵，∴，

令， .

又，∴，∴在上是増函數(shù)，

則，即當(dāng)時(shí)， ，

從而，

又所以，

故，所以不是導(dǎo)函數(shù)的零點(diǎn).