Question

如圖，在正方體中，E、F分別是、CD的中點(diǎn)．

(1)證明：；

(2)求AE與所成的角；

(3)證明：；

(4)設(shè)，求三棱錐F－的體積．

Answer 1

答案：略
解析：

(1)證明：∵是正方體，∴． 又，∴． (2)取AB中點(diǎn)G，連結(jié)，FG． ∵F是CD的中點(diǎn)，∴GF、AD平行且相等，又、AD平行且相等， ∴GF、平行且相等，故是平行四邊形，∴． 設(shè)與AE相交于點(diǎn)H，則∠是AE與所成的角， ∵E是的中點(diǎn)，∴， ∴，∴，即直線AE與所成角為直角． (3)由(1)知，由(2)知，又∵AD∩AE=A， ∴． 又∵，∴． (4)連結(jié)GE，． ∵，∴，∴． ∵，∴． ∴．

提示：

本例是97年高考試題，其特點(diǎn)是知識(shí)和方法的覆蓋面大(既考查了平行與垂直的證明，又有角和面積、體積的計(jì)算)；同時(shí)命題以若干小題的形式出現(xiàn)．既各自獨(dú)立，又環(huán)環(huán)相扣，由易到難，逐步深入．本題第四小題是體積計(jì)算，這是歷年命題的重點(diǎn)之一．為此首先要熟悉各種幾何體的概念和性質(zhì)，掌握所有計(jì)算公式；同時(shí)還應(yīng)能熟練運(yùn)用“等積變形”、“分解與組合”(即“割補(bǔ)法”)等方法和技巧．在這里直接套用求體積公式不如采用割補(bǔ)法來(lái)得快捷．