Question

已知數(shù)列中，是的前項(xiàng)和，且是與的等差中項(xiàng)，其中是不等于零的常數(shù).

（1）求； （2）猜想的表達(dá)式，并用數(shù)學(xué)歸納法加以證明．

 

Answer 1

【答案】

（1），，；（2）見解析.

【解析】(1)先確定,然后要以先求出a₁,進(jìn)而可以求出a₂,a₃;

(2)根據(jù)第（1）求出的結(jié)果進(jìn)行猜想.然后再利用數(shù)學(xué)歸納法證明時(shí)兩個(gè)步驟缺一不可. 

解： （1）由題意，                     

當(dāng)時(shí)，，  ∴  ；           

當(dāng)時(shí)，，   ∴ ；     

當(dāng)時(shí)，,    ∴ ； 

  （2）猜想：.                      

   證明：①當(dāng)時(shí)，由（1）可知等式成立；             

   ②假設(shè)時(shí)等式成立，即：，

   則當(dāng)時(shí)，，

∴，   ∴， 

即時(shí)等式也成立.                             

綜合①②知：對(duì)任意均成立.