Question

已知命題：在平面直角坐標系中，△ABC的頂點A（-c，0）和C（c，0），頂點B在橢圓

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0，c=

a2-b2

)上，橢圓的離心率是e，則

sinA+sinC

sinB

=

1

e

，類比上述命題有：在平面直角坐標系中，△ABC的頂點A（-c，0）和C（c，0），頂點B在雙曲線

x2

a2

-

y2

b2

=1(a＞0，b＞0，c=

a2+b2

)上，雙曲線的離心率是e，則

|sinA-sinC|

sinB

=

1

e

．

Answer 1

分析：根據橢圓的離心率的說法可以寫出推理的前提，對于雙曲線的離心率可以通過定義表示出來，根據正弦定理把三角形的邊長表示成角的正弦．

解答：解：∵根據橢圓的離心率的說法可以寫出推理的前提，
平面直角坐標系xOy中，△ABC頂點A（-c，0）和C（c，0），
頂點B在雙曲線

x2

a2

-

y2

b2

=1(a＞0，b＞0，c=

a2+b2

)上，
雙曲線的離心率是e
后面的關于離心率的結果要計算出
∵

1

e

=

a

c

=

2a

2c

=

|AB-BC|

AC

∴由正弦定理可以得到

1

e

=

|sinA-sinC|

sinB

，
故答案為：

|sinA-sinC|

sinB

=

1

e

．

點評：本題考查橢圓與雙曲線的基本性質，類比推理，解題的關鍵是利用定義表示出雙曲線的離心率，再利用正弦定理表示出來，本題是一個基礎題．