已知橢圓的左右焦點為,拋物線C:以F2為焦點且與橢圓相交于點、,點在軸上方,直線與拋物線相切.
(1)求拋物線的方程和點、的坐標;
(2)設A,B是拋物線C上兩動點,如果直線,與軸分別交于點. 是以,為腰的等腰三角形,探究直線AB的斜率是否為定值?若是求出這個定值,若不是說明理由.
(1)M、N的坐標分別為(1,2)、(1,-2)。
(2)為定值
解析試題分析:解:(1)由橢圓方程得半焦距 1分
所以橢圓焦點為
又拋物線C的焦點為 3分
∵在拋物線C上,
∴,直線的方程為 4分
代入拋物線C得
5分
∵與拋物線C相切,
, 6分
∴ M、N的坐標分別為(1,2)、(1,-2)。 7分
(2)直線AB的斜率為定值—1.
證明如下:設,,,A、B在拋物線上,
由①-③得,
由②-③得, 10分
因為是以MP,MQ為腰的等腰三角形,所以 10分
由得 化簡整理,
得
由得:
為定值 14分
解法二:設, 6分
則, 8分
因為是以MP,MQ為腰的等腰三角形,所以 10分
即
所以
所以,由得 12分
所以,
所以,直線AB的斜率為定值,這個定值為 14分
考點:直線與拋物線的位置關系
點評:主要是考查了拋物線方程的方程的求解以及直線與拋物線的位置關系的運用,屬于中檔題。
科目:高中數(shù)學 來源: 題型:解答題
已知橢圓,直線l為圓的一條切線,且經過橢圓C的右焦點,直線l的傾斜角為,記橢圓C的離心率為e.
(1)求e的值;
(2)試判定原點關于l的對稱點是否在橢圓上,并說明理由。
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:解答題
橢圓C以拋物線的焦點為右焦點,且經過點A(2,3).
(Ⅰ)求橢圓C的標準方程;
(Ⅱ)若分別為橢圓的左右焦點,求的角平分線所在直線的方程.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:解答題
已知拋物線的焦點與橢圓的右焦點重合.(Ⅰ)求拋物線的方程;
(Ⅱ)動直線恒過點與拋物線交于A、B兩點,與軸交于C點,請你觀察并判斷:在線段MA,MB,MC,AB中,哪三條線段的長總能構成等比數(shù)列?說明你的結論并給出證明.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:解答題
若橢圓的左、右焦點分別為F1,F(xiàn)2,橢圓的離心率為:2.(1)過點C(-1,0)且以向量為方向向量的直線交橢圓于不同兩點A、B,若,則當△OAB的面積最大時,求橢圓的方程。
(2)設M,N為橢圓上的兩個動點,,過原點O作直線MN的垂線OD,垂足為D,求點D的軌跡方程.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:解答題
在平面直角坐標系xOy中,以坐標原點O為極點x軸的正半軸為極軸建立極坐標系, 曲線C1的極坐標方程為:
(1)求曲線C1的普通方程
(2)曲線C2的方程為,設P、Q分別為曲線C1與曲線C2上的任意一點,求|PQ|的最小值
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:解答題
已知拋物線的頂點在坐標原點,焦點在軸上,且過點.
(Ⅰ)求拋物線的標準方程;
(Ⅱ)與圓相切的直線交拋物線于不同的兩點若拋物線上一點滿足,求的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:解答題
設命題p:函數(shù)在上是增函數(shù);命題q:方程有兩個不相等的負實數(shù)根。求使得pq是真命題的實數(shù)對為坐標的點的軌跡圖形及其面積。
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