Question

已知函數(shù)f（x）=1-

1-x2

，x∈[0，1]對于滿足0＜x₁＜x₂＜1的任意x₁，x₂，給出下列結(jié)論
①

f(x2)-f(x1)

x2-x1

＜0              ②x₂f（x₁）＜x₁f（x₂）
③

f(x1)+f(x2)

2

＞ f(

x1+x2

2

)     ④f（x）≤2^x
其中正確結(jié)論的序號是

 

（填上所有正確說法的序號）

Answer 1

分析：由函數(shù)的解析式可知，函數(shù)的圖象是以（0，1）為圓心，1為半徑在的在第一象限的

1

4

個圓，由于x∈[0，1]時，單調(diào)遞增，判斷出①錯；先賦予②中不等式的幾何意義，可判斷出其是錯誤的；判斷出函數(shù)圖象的趨勢，得到函數(shù)值的平均值與自變量的平均值的函數(shù)值的大小，判斷出③正確；由于指數(shù)函數(shù)過點(diǎn)（0，1）且為增函數(shù)，故④正確．

解答：解：由函數(shù)的解析式可知，函數(shù)的圖象是以（0，1）為圓心，1為半徑在的在第一象限的

1

4

個圓
對于①，由于x∈[0，1]時，單調(diào)遞增，故①錯
對于②，x₂f（x₁）＞x₁f（x₂）即為

f(x1)

x1

＞

f(x2)

x2

即表示兩個點(diǎn)（x₁，f（x₁））；（x₂，f（x₂））與原點(diǎn)連線的斜率，故②正確；
對于③因為圖象呈下凹趨勢，所以有

f(x1)+f(x2)

2

＞ f(

x1+x2

2

)，故③對
對于④，由于指數(shù)函數(shù)過點(diǎn)（0，1）且為增函數(shù)，故④正確
故答案為②③④

點(diǎn)評：本題以函數(shù)為載體，考查函數(shù)的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是由函數(shù)的解析式判斷出函數(shù)的圖象，有一定的難度．