Question

6．如圖1，已知正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁的棱長為a，M，N，Q分別是線段AD₁，B₁C，C₁D₁上的動點，當(dāng)三棱錐Q-BMN的俯視圖如圖2所示時，三棱錐Q-BMN的體積為（　�。�

• A． $\frac{1}{2}{a^3}$
• B． $\frac{1}{4}{a^3}$
• C． $\frac{{\sqrt{2}}}{4}{a^3}$
• D． $\frac{1}{12}{a^3}$

Answer 1

分析 由三棱錐Q-BMN的俯視圖可得Q在D₁，N在C，M為D₁A的中點，利用三棱錐的體積公式即可求出三棱錐Q-BMN的體積．．

解答 解：由三棱錐Q-BMN的俯視圖可得Q在D₁，N在C，M為D₁A的中點，
∴S_△QBN=$\frac{1}{2}•\sqrt{2}a•a$=$\frac{\sqrt{2}}{2}{a}^{2}$，
M到平面QBN的距離為：$\frac{1}{2}×\frac{\sqrt{2}}{2}a$=$\frac{\sqrt{2}a}{4}$，
∴三棱錐Q-BMN的體積為$\frac{1}{3}•\frac{\sqrt{2}}{2}{a}^{2}•\frac{\sqrt{2}a}{4}$=$\frac{1}{12}{a}^{3}$，
故選：D．

點評 本題考查三棱錐Q-BMN的體積，考查學(xué)生的計算能力，由三棱錐Q-BMN的俯視圖可得Q在D₁，N在C，M為D₁A的中點是關(guān)鍵．